Google
Câu hỏi: Cắt hình trụ $\left( T \right)$ bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng $2a$, ta được thiết diện là một hình vuông có diện tích bằng $36{{a}^{2}}$. Diện tích xung quanh của $\left( T \right)$ bằng
A. $4\sqrt{13}\pi {{a}^{2}}$.
B. $12\sqrt{13}\pi {{a}^{2}}$.
C. $6\sqrt{13}\pi {{a}^{2}}$.
D. $8\sqrt{13}\pi {{a}^{2}}$.
Giả sử cắt hình trụ $\left( T \right)$ bởi mặt phẳng song song với trục $O{O}'$ và cách trục một khoảng bằng $2a$, ta được thiết diện là một hình vuông $AB{B}'{A}'$ như hình vẽ.
Theo đề bài ta có ${{S}_{AB{B}'{A}'}}=36{{a}^{2}}$ $\Rightarrow AB=A{A}'=6a$.
Gọi $H$ là trung điểm $AB$. Suy ra $AH=3a$ và $\left\{ \begin{aligned}
& OH\bot AB \\
& OH\bot AA' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow OH\bot \left( AB{B}'{A}' \right) $ $ \Rightarrow OH=d\left( OO',\left( AB{B}'{A}' \right) \right)=2a$.
Khi đó hình trụ $\left( T \right)$ có bán kính $R=OA=\sqrt{O{{H}^{2}}+A{{H}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}+9{{a}^{2}}}=a\sqrt{13}$.
Vậy diện tích xung quanh của $\left( T \right)$ bằng ${{S}_{xq}}=2\pi .OA.AA'=12\sqrt{13}\pi {{a}^{2}}$.
A. $4\sqrt{13}\pi {{a}^{2}}$.
B. $12\sqrt{13}\pi {{a}^{2}}$.
C. $6\sqrt{13}\pi {{a}^{2}}$.
D. $8\sqrt{13}\pi {{a}^{2}}$.
Theo đề bài ta có ${{S}_{AB{B}'{A}'}}=36{{a}^{2}}$ $\Rightarrow AB=A{A}'=6a$.
Gọi $H$ là trung điểm $AB$. Suy ra $AH=3a$ và $\left\{ \begin{aligned}
& OH\bot AB \\
& OH\bot AA' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow OH\bot \left( AB{B}'{A}' \right) $ $ \Rightarrow OH=d\left( OO',\left( AB{B}'{A}' \right) \right)=2a$.
Khi đó hình trụ $\left( T \right)$ có bán kính $R=OA=\sqrt{O{{H}^{2}}+A{{H}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}+9{{a}^{2}}}=a\sqrt{13}$.
Vậy diện tích xung quanh của $\left( T \right)$ bằng ${{S}_{xq}}=2\pi .OA.AA'=12\sqrt{13}\pi {{a}^{2}}$.
Đáp án B.