Google
Câu hỏi: Cho khối nón đỉnh $S$ và tâm của đường tròn đáy là $O$. Gọi $A,B$ là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho $\tan \left( \widehat{SAO} \right)=\dfrac{4}{3},\widehat{ASB}={{60}^{0}}$ và khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $\left( SAB \right)$ bằng $\dfrac{\sqrt{22}}{5}$. Thể tích của khối nón đã cho bằng
A. $\dfrac{45\pi \sqrt{6}}{8}$.
B. $\dfrac{15\pi \sqrt{6}}{8}$.
C. $\dfrac{27\pi \sqrt{6}}{8}$.
D. $\dfrac{9\pi \sqrt{6}}{8}$.
Gọi bán kính đường tròn đáy là $R$.
Tam giác $SOA$ vuông tại $O\Rightarrow SO=\dfrac{4}{3}.R, SA=\dfrac{5}{3}.R$
Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và $\widehat{ASB}={{60}^{0}}$ nên tam giác $SAB$ đều cạnh bằng $\dfrac{5}{3}.R$.
$OI=\dfrac{\sqrt{11}}{6}.R; SI=\dfrac{5\sqrt{3}}{6}.R$.
Ta có $OH.SI=SO.OI\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{22}}{5}.\dfrac{5\sqrt{3}}{6}.R=\dfrac{4}{3}.R.\dfrac{\sqrt{11}}{5}.R\Rightarrow R=\dfrac{3\sqrt{6}}{4}$.
$V=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}.SO=\dfrac{1}{3}\pi \dfrac{4}{3}.{{R}^{3}}=\dfrac{9\pi \sqrt{6}}{8}$.
A. $\dfrac{45\pi \sqrt{6}}{8}$.
B. $\dfrac{15\pi \sqrt{6}}{8}$.
C. $\dfrac{27\pi \sqrt{6}}{8}$.
D. $\dfrac{9\pi \sqrt{6}}{8}$.
Tam giác $SOA$ vuông tại $O\Rightarrow SO=\dfrac{4}{3}.R, SA=\dfrac{5}{3}.R$
Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và $\widehat{ASB}={{60}^{0}}$ nên tam giác $SAB$ đều cạnh bằng $\dfrac{5}{3}.R$.
$OI=\dfrac{\sqrt{11}}{6}.R; SI=\dfrac{5\sqrt{3}}{6}.R$.
Ta có $OH.SI=SO.OI\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{22}}{5}.\dfrac{5\sqrt{3}}{6}.R=\dfrac{4}{3}.R.\dfrac{\sqrt{11}}{5}.R\Rightarrow R=\dfrac{3\sqrt{6}}{4}$.
$V=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}.SO=\dfrac{1}{3}\pi \dfrac{4}{3}.{{R}^{3}}=\dfrac{9\pi \sqrt{6}}{8}$.
Đáp án D.
