Google
Câu hỏi: Cho khối nón dình $S$ có đáy là hình tròn tâm $O$. Gọi $A$ và $B$ là hai điểm thuộc đường tròn $(O)$ sao cho tam giác ${S A B}$ vuông và có diện tích bằng $4 a^2$. Góc giữa đường thẳng ${S O}$ và mặt phẳng $(S A B)$ bằng $30^{\circ}$. Thể tích của khối nón đã cho bằng
A. $\dfrac{5}{3} \pi a^3$.
B. $4 \sqrt{3} \pi a^3$.
C. $\dfrac{5 \sqrt{3}}{3} \pi a^3$.
D. $\dfrac{4 \sqrt{3}}{3} \pi a^3$.
Thiết diện là tam giác ${S A B}$ vuông nên
${{S}_{SAB}}=\dfrac{1}{2}SA.SB=4{{a}^{2}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}S{{A}^{2}}=4{{a}^{2}}\Rightarrow SA=2a\sqrt{2}\Rightarrow AB=4a\Rightarrow SH=2a$.
Ta có: $\left( SO; \left( SAB \right) \right)=\widehat{HSO}={{30}^{0}}$ suy ra: $\cos {{30}^{0}}=\dfrac{SO}{SH}\Rightarrow SO=SH.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=2a.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$.
Xét tam giác $SAO$ vuông tại $O$ nên: $O{{A}^{2}}=S{{A}^{2}}-S{{O}^{2}}=8{{a}^{2}}-3{{a}^{2}}=5{{a}^{2}}\Rightarrow OA=a\sqrt{5}$.
Thể tích khối nón: $V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\dfrac{1}{3}\pi {{\left( a\sqrt{5} \right)}^{2}}a\sqrt{3}=\dfrac{5{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}\pi $.
A. $\dfrac{5}{3} \pi a^3$.
B. $4 \sqrt{3} \pi a^3$.
C. $\dfrac{5 \sqrt{3}}{3} \pi a^3$.
D. $\dfrac{4 \sqrt{3}}{3} \pi a^3$.
${{S}_{SAB}}=\dfrac{1}{2}SA.SB=4{{a}^{2}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}S{{A}^{2}}=4{{a}^{2}}\Rightarrow SA=2a\sqrt{2}\Rightarrow AB=4a\Rightarrow SH=2a$.
Ta có: $\left( SO; \left( SAB \right) \right)=\widehat{HSO}={{30}^{0}}$ suy ra: $\cos {{30}^{0}}=\dfrac{SO}{SH}\Rightarrow SO=SH.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=2a.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$.
Xét tam giác $SAO$ vuông tại $O$ nên: $O{{A}^{2}}=S{{A}^{2}}-S{{O}^{2}}=8{{a}^{2}}-3{{a}^{2}}=5{{a}^{2}}\Rightarrow OA=a\sqrt{5}$.
Thể tích khối nón: $V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\dfrac{1}{3}\pi {{\left( a\sqrt{5} \right)}^{2}}a\sqrt{3}=\dfrac{5{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}\pi $.
Đáp án C.
