Google
Câu hỏi: Cho hình nón đỉnh $S$ có đáy là hình tròn tâm $O.$ Dựng hai đường sinh $SA$ và $SB,$ biết tam giác $SAB$ vuông và có diện tích bằng $4{{a}^{2}}.$ Góc tạo bởi trục $SO$ và mặt phẳng $\left( SAB \right)$ bằng $30{}^\circ .$ Thể tích của hình nón bằng
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{6}$.
B. $V=\dfrac{5{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{3}$.
D. $V=\dfrac{5{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $AB,$ kẻ $OH\bot SM\Rightarrow OH\bot \left( SAB \right).$
$\Rightarrow \left( SO;\left( SAB \right) \right)=\left( SO;SH \right)=\widehat{OSH}=30{}^\circ .$
Ta có: ${{S}_{\Delta SAB}}=4{{a}^{2}}=\dfrac{1}{2}SA.SB\Leftrightarrow SA=2a\sqrt{2}\Rightarrow AB=4a\Rightarrow SM=MB=\dfrac{1}{2}AB=2a.$
Lại có: $\left\{ \begin{aligned}
& SO=SM.\cos \widehat{OSH}=2a.\cos 30{}^\circ =a\sqrt{3} \\
& OM=SM.\sin \widehat{OSH}=2a.\sin 30{}^\circ =a \\
\end{aligned} \right..$
$R=OB=\sqrt{O{{M}^{2}}+M{{B}^{2}}}=a\sqrt{5}.$
Thể tích của hình chóp: $V=\dfrac{1}{3}SO.\left( \pi {{R}^{2}} \right)=\dfrac{1}{3}.a\sqrt{3}.\pi .{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}=\dfrac{5{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}.$
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{6}$.
B. $V=\dfrac{5{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{3}$.
D. $V=\dfrac{5{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$.
$\Rightarrow \left( SO;\left( SAB \right) \right)=\left( SO;SH \right)=\widehat{OSH}=30{}^\circ .$
Ta có: ${{S}_{\Delta SAB}}=4{{a}^{2}}=\dfrac{1}{2}SA.SB\Leftrightarrow SA=2a\sqrt{2}\Rightarrow AB=4a\Rightarrow SM=MB=\dfrac{1}{2}AB=2a.$
Lại có: $\left\{ \begin{aligned}
& SO=SM.\cos \widehat{OSH}=2a.\cos 30{}^\circ =a\sqrt{3} \\
& OM=SM.\sin \widehat{OSH}=2a.\sin 30{}^\circ =a \\
\end{aligned} \right..$
$R=OB=\sqrt{O{{M}^{2}}+M{{B}^{2}}}=a\sqrt{5}.$
Thể tích của hình chóp: $V=\dfrac{1}{3}SO.\left( \pi {{R}^{2}} \right)=\dfrac{1}{3}.a\sqrt{3}.\pi .{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}=\dfrac{5{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}.$
Đáp án B.
