Google
Câu hỏi: Cho khối nón đỉnh $S$ có đường cao bằng $2a$ ; $SA$, $SB$ là hai đường sinh của nón. Khoảng cách từ tâm đường tròn đáy đến mặt phẳng $\left( SAB \right)$ bằng $a$ và diện tích tam giác $SAB$ bằng $2{{a}^{2}}$. Tính bán kính đáy của hình nón?
A. $\dfrac{a\sqrt{5}}{5}$.
B. $\dfrac{2\sqrt{5}a}{5}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{5}}{6}$.
D. $\dfrac{5\sqrt{3}a}{6}$.
Gọi $O$ là tâm đường tròn đáy $\Rightarrow SO=2a$.
Gọi $H$ là trung điểm của đoạn $AB$.
Kẻ $OK\bot SH$ $\left( K\in SH \right)$.
Ta có:
+ $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot OH \\
& AB\bot SO \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow AB\bot \left( SHO \right) $ $ \Rightarrow AB\bot OK$.
+ $\left\{ \begin{aligned}
& OK\bot AB \\
& OK\bot SH \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow OK\bot \left( SAB \right) $ $ \Rightarrow d\left( O,\left( SAB \right) \right)=OK $ $ =a$.
Xét tam giác $SHO$ vuông tại $O$ đường cao $OK$ ta có: $\dfrac{1}{O{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}$ $\Rightarrow \dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{K}^{2}}}-\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}$ $=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}-\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}$ $=\dfrac{3}{4{{a}^{2}}}$ $\Rightarrow OH=\dfrac{2\sqrt{3}a}{3}$.
$\Rightarrow SH=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{H}^{2}}}$ $=\sqrt{4{{a}^{2}}+\dfrac{4{{a}^{2}}}{3}}$ $=\dfrac{4\sqrt{3}a}{3}$.
Ta có: ${{S}_{\Delta SAB}}=\dfrac{1}{2}SH.AB$ $\Rightarrow AB=\dfrac{2{{S}_{\Delta SAB}}}{SH}$ $=\dfrac{2.2{{a}^{2}}}{\dfrac{4\sqrt{3}a}{3}}$ $=\sqrt{3}a$ $\Rightarrow AH=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a$.
Xét tam giác $OAH$ vuông tại $H$ có: $OA=\sqrt{O{{H}^{2}}+H{{A}^{2}}}$ $=\sqrt{\dfrac{12}{9}{{a}^{2}}+\dfrac{3}{4}{{a}^{2}}}$ $=\dfrac{5\sqrt{3}a}{6}$.
Vậy bán kính đáy của hình nón là $R=OA=\dfrac{5\sqrt{3}a}{6}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{5}}{5}$.
B. $\dfrac{2\sqrt{5}a}{5}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{5}}{6}$.
D. $\dfrac{5\sqrt{3}a}{6}$.
Gọi $H$ là trung điểm của đoạn $AB$.
Kẻ $OK\bot SH$ $\left( K\in SH \right)$.
Ta có:
+ $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot OH \\
& AB\bot SO \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow AB\bot \left( SHO \right) $ $ \Rightarrow AB\bot OK$.
+ $\left\{ \begin{aligned}
& OK\bot AB \\
& OK\bot SH \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow OK\bot \left( SAB \right) $ $ \Rightarrow d\left( O,\left( SAB \right) \right)=OK $ $ =a$.
Xét tam giác $SHO$ vuông tại $O$ đường cao $OK$ ta có: $\dfrac{1}{O{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}$ $\Rightarrow \dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{K}^{2}}}-\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}$ $=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}-\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}$ $=\dfrac{3}{4{{a}^{2}}}$ $\Rightarrow OH=\dfrac{2\sqrt{3}a}{3}$.
$\Rightarrow SH=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{H}^{2}}}$ $=\sqrt{4{{a}^{2}}+\dfrac{4{{a}^{2}}}{3}}$ $=\dfrac{4\sqrt{3}a}{3}$.
Ta có: ${{S}_{\Delta SAB}}=\dfrac{1}{2}SH.AB$ $\Rightarrow AB=\dfrac{2{{S}_{\Delta SAB}}}{SH}$ $=\dfrac{2.2{{a}^{2}}}{\dfrac{4\sqrt{3}a}{3}}$ $=\sqrt{3}a$ $\Rightarrow AH=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a$.
Xét tam giác $OAH$ vuông tại $H$ có: $OA=\sqrt{O{{H}^{2}}+H{{A}^{2}}}$ $=\sqrt{\dfrac{12}{9}{{a}^{2}}+\dfrac{3}{4}{{a}^{2}}}$ $=\dfrac{5\sqrt{3}a}{6}$.
Vậy bán kính đáy của hình nón là $R=OA=\dfrac{5\sqrt{3}a}{6}$.
Đáp án D.