Google
Câu hỏi: Cho hình nón $\left( N \right)$ đỉnh $S$ đường cao $SO$, $A$ và $B$ là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ $O$ đến $\left( SAB \right)$ bằng $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$ và $\widehat{SAO}={{30}^{0}},\widehat{SAB}={{60}^{0}}$. Thể tích khối nón $\left( N \right)$ bằng.
A. $V=\dfrac{\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{6}$.
B. $V=\dfrac{\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}}{3}$.
C. $V=\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{4}$.
D. $V=\dfrac{\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}}{4}$.
Kẻ $OH\bot AB,OK\bot SH\Rightarrow d\left( O,(SAB) \right)=OK=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
$\widehat{SAB}={{60}^{0}}\Rightarrow \Delta SAB$ đều.
Đặt $SA=SB=x\Rightarrow AH=\dfrac{x}{2}$
Vì $\widehat{SAO}={{30}^{0}}\Rightarrow SO=\sin {{30}^{0}}.SA=\dfrac{x}{2},OA=\cos {{30}^{0}}.SA=\dfrac{x\sqrt{3}}{2}$.
$OH=\sqrt{O{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\dfrac{x\sqrt{2}}{2}$
Tam giác $SOH$ vuông tại $O$ và có đường cao $OK\Rightarrow \dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{K}^{2}}}\Rightarrow x=\sqrt{2}a$.
$\Rightarrow h=SO=\dfrac{\sqrt{2}a}{2},R=OA=\dfrac{\sqrt{6}a}{2}\Rightarrow V=\dfrac{\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}}{4}$.
A. $V=\dfrac{\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{6}$.
B. $V=\dfrac{\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}}{3}$.
C. $V=\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{4}$.
D. $V=\dfrac{\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}}{4}$.
$\widehat{SAB}={{60}^{0}}\Rightarrow \Delta SAB$ đều.
Đặt $SA=SB=x\Rightarrow AH=\dfrac{x}{2}$
Vì $\widehat{SAO}={{30}^{0}}\Rightarrow SO=\sin {{30}^{0}}.SA=\dfrac{x}{2},OA=\cos {{30}^{0}}.SA=\dfrac{x\sqrt{3}}{2}$.
$OH=\sqrt{O{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\dfrac{x\sqrt{2}}{2}$
Tam giác $SOH$ vuông tại $O$ và có đường cao $OK\Rightarrow \dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{K}^{2}}}\Rightarrow x=\sqrt{2}a$.
$\Rightarrow h=SO=\dfrac{\sqrt{2}a}{2},R=OA=\dfrac{\sqrt{6}a}{2}\Rightarrow V=\dfrac{\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}}{4}$.
Đáp án D.
