Google
Câu hỏi: Cho hình nón $\left( N \right)$ có đỉnh $S$ và đáy là đường tròn tâm $\left( O \right)$, bán kính $R$, chiều cao $2R$. Một mặt phẳng đi qua đỉnh và cắt đường tròn đáy theo dây cung $AB$ có độ dài bằng bán kính. Tính $\sin $ của góc tạo bởi $OA$ và mặt phẳng $\left( SAB \right)$.
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.
B. $\dfrac{2\sqrt{57}}{19}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
D. $\dfrac{\sqrt{57}}{19}$.
Ta có $SO\bot AB,$ kẻ $OH\bot AB\Rightarrow AB\bot \left( SOH \right)\Rightarrow \left( SAB \right)\bot \left( SOH \right),\left( SAB \right)\cap \left( SOH \right)=SH$.
Kẻ $OK\bot SH\Rightarrow OK\bot \left( SAB \right)\Rightarrow \left( OA,\left( SAB \right) \right)=\left( OA,AK \right)=\widehat{OAK}$.
Ta có $OH=\sqrt{O{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}R\Rightarrow OK=\dfrac{SO.OH}{\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{H}^{2}}}}=2\sqrt{\dfrac{3}{19}}R$.
$\sin \widehat{OAK}=\dfrac{OK}{OA}=\dfrac{2\sqrt{57}}{19}$.
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.
B. $\dfrac{2\sqrt{57}}{19}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
D. $\dfrac{\sqrt{57}}{19}$.
Kẻ $OK\bot SH\Rightarrow OK\bot \left( SAB \right)\Rightarrow \left( OA,\left( SAB \right) \right)=\left( OA,AK \right)=\widehat{OAK}$.
Ta có $OH=\sqrt{O{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}R\Rightarrow OK=\dfrac{SO.OH}{\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{H}^{2}}}}=2\sqrt{\dfrac{3}{19}}R$.
$\sin \widehat{OAK}=\dfrac{OK}{OA}=\dfrac{2\sqrt{57}}{19}$.
Đáp án B.