Google
Câu hỏi: Cho hình nón đỉnh $S$, đường cao $SO$. Gọi $A,B$ là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ $O$ đến $AB$ là $a$ và $\widehat{SAO}={{30}^{o}}$, $\widehat{SAB}={{60}^{o}}$. Bán kính đáy bằng
A. $a\sqrt{6}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.
D. $a\sqrt{3}$.
Gọi $I$ là trung điểm của $AB$, ta có: $OI\bot AB,SI\bot AB,OI=a$.
Ngoài ra: $\left\{ \begin{aligned}
& AO=SA.\cos \widehat{SAO}=SA.\cos {{30}^{o}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}SA \\
& AI=SA.\cos \widehat{SAI}=SA.\cos {{60}^{o}}=\dfrac{1}{2}SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \dfrac{AI}{AO}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
Mà $\dfrac{AI}{AO}=\cos \widehat{IAO}\Rightarrow \cos \widehat{IAO}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \sin \widehat{IAO}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}=\dfrac{OI}{OA}=\dfrac{a}{OA}$
Vậy $OA=\dfrac{3a}{\sqrt{6}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.
A. $a\sqrt{6}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.
D. $a\sqrt{3}$.
Ngoài ra: $\left\{ \begin{aligned}
& AO=SA.\cos \widehat{SAO}=SA.\cos {{30}^{o}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}SA \\
& AI=SA.\cos \widehat{SAI}=SA.\cos {{60}^{o}}=\dfrac{1}{2}SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \dfrac{AI}{AO}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
Mà $\dfrac{AI}{AO}=\cos \widehat{IAO}\Rightarrow \cos \widehat{IAO}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \sin \widehat{IAO}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}=\dfrac{OI}{OA}=\dfrac{a}{OA}$
Vậy $OA=\dfrac{3a}{\sqrt{6}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.
Đáp án C.