Google
Câu hỏi: Cho hình nón đỉnh $S$, đường cao SO, $A$ và $B$ là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ $O$ đến $\left( SAB \right)$ bằng $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$ và $\widehat{SAO}={{30}^{0}},\widehat{SAB}={{60}^{0}}$. Độ dài đường sinh của hình nón theo $a$ bằng
A. $a\sqrt{2}$
B. $a\sqrt{3}$
C. $2a\sqrt{3}$
D. $a\sqrt{5}$
Gọi $K$ là trung điểm của $AB$ ta có $OK\bot AB$ vì tam giác $OAB$ cân tại $O$
Mà $SO\bot AB$ nên $AB\bot \left( SOK \right)$ $\Rightarrow \left( SOK \right)\bot \left( SAB \right)$ mà $\Rightarrow \left( SOK \right)\cap \left( SAB \right)=SK$ nên từ $O$ dựng $OH\bot SK$ thì $OH\bot \left( SAB \right)\Rightarrow OH=d\left( O,\left( SAB \right) \right)$
Xét tam giác $SAO$ ta có: $\sin \widehat{SAO}=\dfrac{SO}{SA}\Rightarrow SO=\dfrac{SA}{2}$
Xét tam giác $SAB$ ta có: $\sin \widehat{SAB}=\dfrac{SK}{SA}\Rightarrow SK=\dfrac{SA\sqrt{3}}{2}$
Xét tam giác $SOK$ ta có: $\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{K}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{S}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{K}^{2}}-S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{\dfrac{S{{A}^{2}}}{4}}+\dfrac{1}{\dfrac{3S{{A}^{2}}}{4}-\dfrac{S{{A}^{2}}}{4}}=\dfrac{4}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{2}{S{{A}^{2}}}$ $\Rightarrow \dfrac{6}{S{{A}^{2}}}=\dfrac{3}{{{a}^{2}}}\Rightarrow SA=2{{a}^{2}}\Rightarrow SA=a\sqrt{2}$
A. $a\sqrt{2}$
B. $a\sqrt{3}$
C. $2a\sqrt{3}$
D. $a\sqrt{5}$
Mà $SO\bot AB$ nên $AB\bot \left( SOK \right)$ $\Rightarrow \left( SOK \right)\bot \left( SAB \right)$ mà $\Rightarrow \left( SOK \right)\cap \left( SAB \right)=SK$ nên từ $O$ dựng $OH\bot SK$ thì $OH\bot \left( SAB \right)\Rightarrow OH=d\left( O,\left( SAB \right) \right)$
Xét tam giác $SAO$ ta có: $\sin \widehat{SAO}=\dfrac{SO}{SA}\Rightarrow SO=\dfrac{SA}{2}$
Xét tam giác $SAB$ ta có: $\sin \widehat{SAB}=\dfrac{SK}{SA}\Rightarrow SK=\dfrac{SA\sqrt{3}}{2}$
Xét tam giác $SOK$ ta có: $\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{K}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{S}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{K}^{2}}-S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{\dfrac{S{{A}^{2}}}{4}}+\dfrac{1}{\dfrac{3S{{A}^{2}}}{4}-\dfrac{S{{A}^{2}}}{4}}=\dfrac{4}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{2}{S{{A}^{2}}}$ $\Rightarrow \dfrac{6}{S{{A}^{2}}}=\dfrac{3}{{{a}^{2}}}\Rightarrow SA=2{{a}^{2}}\Rightarrow SA=a\sqrt{2}$
Đáp án A.