Google
Câu hỏi: Cho hình nón đỉnh $S$, đường cao $SO$, $A$ và $B$ là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho tam giác $SAB$ đều; khoảng cách từ $O$ đến $\left( SAB \right)$ bằng $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$ và $\widehat{SAO}=30{}^\circ $. Diện tích xung quanh của hình nón theo $a$ bằng
A. $\sqrt{3}\pi {{a}^{2}}$.
B. $\dfrac{3\sqrt{3}\pi }{2}{{a}^{2}}$.
C. $6\sqrt{3}\pi {{a}^{2}}$.
D. $\dfrac{5\sqrt{3}\pi }{2}{{a}^{2}}$.
Gọi $M$ là trung điểm $AB$, gọi $H$ là hình chiếu của $O$ lên $SM$ thì $SH\bot \left( SAB \right)$ nên $d\left( O,\left( SAB \right) \right)=OH$. Vậy $OH=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.Gọi $SO=h$, do $\widehat{SAO}=30{}^\circ $ nên $SA=2h$, $OA=h\sqrt{3}$.
Mặt khác $\Delta ABC$ đều nên $SM=h\sqrt{3}$ và $AM=h\Rightarrow M{{O}^{2}}=3{{h}^{2}}-{{h}^{2}}=2{{h}^{2}}$.
$\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}=\dfrac{1}{2{{h}^{2}}}+\dfrac{1}{{{h}^{2}}}=\dfrac{3}{2{{h}^{2}}}$. Vậy $\dfrac{2{{h}^{2}}}{3}=\dfrac{{{a}^{2}}}{3}\Rightarrow h=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$. $\Rightarrow SA=a\sqrt{2}$, $r=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.
${{S}_{xq}}=\pi rl=\pi {{a}^{2}}\sqrt{3}$.
A. $\sqrt{3}\pi {{a}^{2}}$.
B. $\dfrac{3\sqrt{3}\pi }{2}{{a}^{2}}$.
C. $6\sqrt{3}\pi {{a}^{2}}$.
D. $\dfrac{5\sqrt{3}\pi }{2}{{a}^{2}}$.
Mặt khác $\Delta ABC$ đều nên $SM=h\sqrt{3}$ và $AM=h\Rightarrow M{{O}^{2}}=3{{h}^{2}}-{{h}^{2}}=2{{h}^{2}}$.
$\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}=\dfrac{1}{2{{h}^{2}}}+\dfrac{1}{{{h}^{2}}}=\dfrac{3}{2{{h}^{2}}}$. Vậy $\dfrac{2{{h}^{2}}}{3}=\dfrac{{{a}^{2}}}{3}\Rightarrow h=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$. $\Rightarrow SA=a\sqrt{2}$, $r=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.
${{S}_{xq}}=\pi rl=\pi {{a}^{2}}\sqrt{3}$.
Đáp án A.