Google
Câu hỏi: Cho hình nón đỉnh $S$, đường cao $SO$. Gọi $A$ và $B$ là hai điểm thuộc đường tròn đáy hình nón sao cho khoảng cách từ $O$ đến $AB$ bằng $a$ và $\widehat{SAO}=30{}^\circ $, $\widehat{SAB}=60{}^\circ $. Diện tích xung quanh hình nón bằng
A. $\dfrac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{6}}{2}.$
B. $\pi {{a}^{2}}\sqrt{3}.$
C. $2\pi {{a}^{2}}\sqrt{3}.$
D. $\pi {{a}^{2}}\sqrt{6}.$
Gọi $H$ là trung điểm $AB$ suy ra $OH\bot AB$ nên $d\left( O,AB \right)=OH=a$.
Ta có $SO=SA\sin \widehat{SAO}=SA\sin 30{}^\circ =\dfrac{SA}{2}$.
Do $\widehat{SAB}=60{}^\circ $ nên tam giác $SAB$ đều suy ra $SH=\dfrac{SA\sqrt{3}}{2}$.
Tam giác $SOH$ vuông tại $O$ nên $S{{H}^{2}}=O{{S}^{2}}+O{{H}^{2}}\Leftrightarrow \dfrac{3S{{A}^{2}}}{4}=\dfrac{S{{A}^{2}}}{4}+{{a}^{2}}\Leftrightarrow SA=a\sqrt{2}$.
$\Rightarrow SO=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow OA=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\Rightarrow {{S}_{xq}}=\pi {{a}^{2}}\sqrt{3}$.
A. $\dfrac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{6}}{2}.$
B. $\pi {{a}^{2}}\sqrt{3}.$
C. $2\pi {{a}^{2}}\sqrt{3}.$
D. $\pi {{a}^{2}}\sqrt{6}.$
Ta có $SO=SA\sin \widehat{SAO}=SA\sin 30{}^\circ =\dfrac{SA}{2}$.
Do $\widehat{SAB}=60{}^\circ $ nên tam giác $SAB$ đều suy ra $SH=\dfrac{SA\sqrt{3}}{2}$.
Tam giác $SOH$ vuông tại $O$ nên $S{{H}^{2}}=O{{S}^{2}}+O{{H}^{2}}\Leftrightarrow \dfrac{3S{{A}^{2}}}{4}=\dfrac{S{{A}^{2}}}{4}+{{a}^{2}}\Leftrightarrow SA=a\sqrt{2}$.
$\Rightarrow SO=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow OA=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\Rightarrow {{S}_{xq}}=\pi {{a}^{2}}\sqrt{3}$.
Đáp án B.
