Google
Câu hỏi: Cho khối nón đỉnh $S$ có bán kính đáy bằng $2\sqrt{3}a$. Gọi $A$ và $B$ là hai điểm thuộc đáy sao cho $AB=4a$. Biết khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng $\left( SAB \right)$ bằng $2a$, thể tích của khối nón đã cho bằng
A. $\dfrac{8\sqrt{2}}{3}\pi {{a}^{3}}$.
B. $4\sqrt{6}\pi {{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{16\sqrt{3}}{3}\pi {{a}^{3}}$.
D. $8\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}$.
Vẽ $OH\bot AB$ tại $H$ suy ra $H$ là trung điểm $AB$
Vẽ $OK\bot SH$ tại $K$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot OH \\
& AB\bot SO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SOH \right)\Rightarrow AB\bot OK$
Mà $SH\bot OK\Rightarrow OK\bot \left( SAB \right)\Rightarrow \text{d}\left( O;\left( SAB \right) \right)=OK=2a$.
Ta có $H$ là trung điểm $AB$ suy ra $HB=HA=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{4a}{2}=2a$
Xét $\Delta OAH$ vuông tại $H$ ta có $OH=\sqrt{O{{A}^{2}}-H{{A}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2\sqrt{3}a \right)}^{2}}-{{\left( 2a \right)}^{2}}}=2\sqrt{2}a$
Áp dụng hệ thức lượng trong $\Delta SOH$ vuông tại $O$ ta có
$\dfrac{1}{O{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{{{\left( 2a \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( 2\sqrt{2}a \right)}^{2}}}\Rightarrow SO=2\sqrt{2}a$
Vậy thể tích khối nón là $V=\dfrac{1}{3}\pi O{{A}^{2}}.SO=\dfrac{1}{3}\pi .{{\left( 2\sqrt{3}a \right)}^{2}}.2\sqrt{2}a=8\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}$.
A. $\dfrac{8\sqrt{2}}{3}\pi {{a}^{3}}$.
B. $4\sqrt{6}\pi {{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{16\sqrt{3}}{3}\pi {{a}^{3}}$.
D. $8\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}$.
Vẽ $OK\bot SH$ tại $K$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot OH \\
& AB\bot SO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SOH \right)\Rightarrow AB\bot OK$
Mà $SH\bot OK\Rightarrow OK\bot \left( SAB \right)\Rightarrow \text{d}\left( O;\left( SAB \right) \right)=OK=2a$.
Ta có $H$ là trung điểm $AB$ suy ra $HB=HA=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{4a}{2}=2a$
Xét $\Delta OAH$ vuông tại $H$ ta có $OH=\sqrt{O{{A}^{2}}-H{{A}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2\sqrt{3}a \right)}^{2}}-{{\left( 2a \right)}^{2}}}=2\sqrt{2}a$
Áp dụng hệ thức lượng trong $\Delta SOH$ vuông tại $O$ ta có
$\dfrac{1}{O{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{{{\left( 2a \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( 2\sqrt{2}a \right)}^{2}}}\Rightarrow SO=2\sqrt{2}a$
Vậy thể tích khối nón là $V=\dfrac{1}{3}\pi O{{A}^{2}}.SO=\dfrac{1}{3}\pi .{{\left( 2\sqrt{3}a \right)}^{2}}.2\sqrt{2}a=8\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}$.
Đáp án D.