Google
Câu hỏi: Cho hình nón $\left( N \right)$ có đỉnh $S$, chiều cao $h=2$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ qua đỉnh $S$ cắt hình nón $\left( N \right)$ theo thiết diện là tam giác đều. Khoảng cách từ tâm đáy hình nón đến mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng $\sqrt{3}$. Thể tích khối nón giới hạn bởi hình nón $\left( N \right)$ bằng
A. $\dfrac{52\pi }{9}$.
B. $\dfrac{104\pi }{3}$.
C. $\dfrac{52\pi }{3}$.
D. $\dfrac{104\pi }{9}$
Kẻ $mp\left( SAB \right)$, $OH\bot AB,OK\bot SH$
$OH\bot AB,SO\bot AB \left( SO\bot \left( OAB \right) \right)$
$\Rightarrow AB\bot \left( SOH \right)$
$\Rightarrow AB\bot OK$
Mà $OK\bot SH$
$\Rightarrow OK\bot \left( SAB \right)$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow OK=\sqrt{3}=\dfrac{SO.OH}{\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{H}^{2}}}} \\
& \Rightarrow \sqrt{3}=\dfrac{2.OH}{\sqrt{4+O{{H}^{2}}}}\Leftrightarrow OH=\sqrt{12} \\
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow SH=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{H}^{2}}}=4=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}\to AB=\dfrac{8\sqrt{3}}{3} \\
& \Rightarrow BH=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{8\sqrt{3}}{6}6 \\
& \Rightarrow OB=\sqrt{O{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}}=\sqrt{12+\dfrac{16}{3}}=\dfrac{2\sqrt{39}}{3} \\
\end{aligned}$
$\Rightarrow {{V}_{\left( S \right)}}=\dfrac{1}{3}h.\pi .O{{B}^{2}}=\dfrac{1}{3}.2.\pi .{{\left( \dfrac{2\sqrt{39}}{3} \right)}^{2}}=\dfrac{104\pi }{9}$.
A. $\dfrac{52\pi }{9}$.
B. $\dfrac{104\pi }{3}$.
C. $\dfrac{52\pi }{3}$.
D. $\dfrac{104\pi }{9}$
$OH\bot AB,SO\bot AB \left( SO\bot \left( OAB \right) \right)$
$\Rightarrow AB\bot \left( SOH \right)$
$\Rightarrow AB\bot OK$
Mà $OK\bot SH$
$\Rightarrow OK\bot \left( SAB \right)$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow OK=\sqrt{3}=\dfrac{SO.OH}{\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{H}^{2}}}} \\
& \Rightarrow \sqrt{3}=\dfrac{2.OH}{\sqrt{4+O{{H}^{2}}}}\Leftrightarrow OH=\sqrt{12} \\
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow SH=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{H}^{2}}}=4=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}\to AB=\dfrac{8\sqrt{3}}{3} \\
& \Rightarrow BH=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{8\sqrt{3}}{6}6 \\
& \Rightarrow OB=\sqrt{O{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}}=\sqrt{12+\dfrac{16}{3}}=\dfrac{2\sqrt{39}}{3} \\
\end{aligned}$
$\Rightarrow {{V}_{\left( S \right)}}=\dfrac{1}{3}h.\pi .O{{B}^{2}}=\dfrac{1}{3}.2.\pi .{{\left( \dfrac{2\sqrt{39}}{3} \right)}^{2}}=\dfrac{104\pi }{9}$.
Đáp án D.