Google
Câu hỏi: Cho khối chóp $S \cdot A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông, tam giác $S A B$ cân tại $S$, góc giữa mặt bên $(S A B)$ và mặt đáy bằng $60^{\circ}$, góc giữa $S A$ và mặt đáy bằng $45^{\circ}$ và thể tích của khối chóp bằng $\dfrac{8 a^3 \sqrt{3}}{3}$. Khi đó khoảng cách giữa $C D$ và $S B$ là
A. $\dfrac{a \sqrt{3}}{3}$.
B. $\dfrac{a \sqrt{2}}{3}$.
C. $a \sqrt{6}$.
D. $a \sqrt{3}$.
Gọi $I, K$ lần lượt là trung điểm của $A B, C D \Rightarrow A B \perp(S I K)$
Dựng $\Rightarrow S H \perp I K \Rightarrow S H \perp(A B C D)$
Góc giữa $S A$ và mặt đáy bằng $45^{\circ} \Leftrightarrow \widehat{S A H}=45^{\circ} \Rightarrow \triangle S A H$ vuông cân tại $H$.
Góc giữa mặt bên $(S A B)$ và mặt đáy bằng $60^{\circ} \Leftrightarrow \widehat{S I H}=60^{\circ}$
Đặt $S H=x \Rightarrow A H=x, H I=\dfrac{x \sqrt{3}}{3}, S I=\dfrac{2 x}{\sqrt{3}}, S A=x \sqrt{2}$
$\Delta A I S$ vuông tại $I \Rightarrow A I=\dfrac{x \sqrt{6}}{3} \Rightarrow A B=\dfrac{2 x \sqrt{6}}{3}$
$
\begin{gathered}
V_{S \cdot A B C D}=\dfrac{1}{3} S_{\triangle A B C D} \cdot S H=\dfrac{1}{3} \cdot\left(\dfrac{2 x \sqrt{6}}{3}\right)^2 \cdot x=\dfrac{8 a^3}{\sqrt{3}} \\
x=a \sqrt{3} \Rightarrow A B=2 a \sqrt{2}
\end{gathered}
$
Vì $C D\|A B \Rightarrow C D\|(S A B)$
$d(C D, S B)=d(K, S A B)=K M$, trong đó $K M \perp S I, M \in S I$ $K M=I K \cdot \sin 60^{\circ}=a \sqrt{6}$
A. $\dfrac{a \sqrt{3}}{3}$.
B. $\dfrac{a \sqrt{2}}{3}$.
C. $a \sqrt{6}$.
D. $a \sqrt{3}$.
Dựng $\Rightarrow S H \perp I K \Rightarrow S H \perp(A B C D)$
Góc giữa $S A$ và mặt đáy bằng $45^{\circ} \Leftrightarrow \widehat{S A H}=45^{\circ} \Rightarrow \triangle S A H$ vuông cân tại $H$.
Góc giữa mặt bên $(S A B)$ và mặt đáy bằng $60^{\circ} \Leftrightarrow \widehat{S I H}=60^{\circ}$
Đặt $S H=x \Rightarrow A H=x, H I=\dfrac{x \sqrt{3}}{3}, S I=\dfrac{2 x}{\sqrt{3}}, S A=x \sqrt{2}$
$\Delta A I S$ vuông tại $I \Rightarrow A I=\dfrac{x \sqrt{6}}{3} \Rightarrow A B=\dfrac{2 x \sqrt{6}}{3}$
$
\begin{gathered}
V_{S \cdot A B C D}=\dfrac{1}{3} S_{\triangle A B C D} \cdot S H=\dfrac{1}{3} \cdot\left(\dfrac{2 x \sqrt{6}}{3}\right)^2 \cdot x=\dfrac{8 a^3}{\sqrt{3}} \\
x=a \sqrt{3} \Rightarrow A B=2 a \sqrt{2}
\end{gathered}
$
Vì $C D\|A B \Rightarrow C D\|(S A B)$
$d(C D, S B)=d(K, S A B)=K M$, trong đó $K M \perp S I, M \in S I$ $K M=I K \cdot \sin 60^{\circ}=a \sqrt{6}$
Đáp án C.