Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông, tam giác $S A B$ cân tại $S$. Góc giữa mặt bên $(S A B)$ và mặt đáy bằng $60^{\circ}$, góc giữa $S A$ và mặt phẳng đáy bằng $45^{\circ}$. Biết thể tích khối chóp $S . A B C D$ bằng $\dfrac{8 a^3 \sqrt{3}}{3}$. Chiều cao của hình chóp $S$. $A B C D$ bằng
A. $a \sqrt{3}$.
B. $a \sqrt{6}$.
C. $\dfrac{a \sqrt{3}}{3}$.
D. $\dfrac{a \sqrt{2}}{3}$.
Gọi $I, K$ lần lượt là trung điểm của $A B$ và $C D$ và $H$ là hình chiếu của $S$ trên $I K$. Khi đó, ta có:
$
\begin{aligned}
& \left.* \begin{array}{l}
S I \perp A B \\
I K \perp A B
\end{array}\right\} \Rightarrow A B \perp(S I K) . \\
& \left.* \begin{array}{l}
S H \perp I K \\
S H \perp A B
\end{array}\right\} \Rightarrow S H \perp(A B C D) .
\end{aligned}
$
Đặt $S H=x$. Ta có:
$
* I H=x \cot 60^{\circ}=\dfrac{x}{\sqrt{3}} \text {. }
$
$* A H=S H=x$ (Do tam giác $S A H$ vuông cân ở) $H$.
Nên $A I=\sqrt{A H^2-I H^2}=\sqrt{x^2-\dfrac{x^2}{3}}=\dfrac{x \sqrt{6}}{3} \Rightarrow A B=\dfrac{2 x \sqrt{6}}{3}$.
Thể tích khối chóp $S . A B C D$ là: $V_{S \cdot A B C D}=\dfrac{1}{3} S H . S_{A B C D}=\dfrac{1}{3} \cdot x \cdot\left(\dfrac{2 x \sqrt{6}}{3}\right)^2=\dfrac{8 x^3}{9}$.
Theo bài ra ta có: $\dfrac{8 x^3}{9}=\dfrac{8 a^3 \sqrt{3}}{3} \Rightarrow x=a \sqrt{3}$.
Vậy chiều cao của hình chóp là $a \sqrt{3}$.
A. $a \sqrt{3}$.
B. $a \sqrt{6}$.
C. $\dfrac{a \sqrt{3}}{3}$.
D. $\dfrac{a \sqrt{2}}{3}$.
$
\begin{aligned}
& \left.* \begin{array}{l}
S I \perp A B \\
I K \perp A B
\end{array}\right\} \Rightarrow A B \perp(S I K) . \\
& \left.* \begin{array}{l}
S H \perp I K \\
S H \perp A B
\end{array}\right\} \Rightarrow S H \perp(A B C D) .
\end{aligned}
$
Đặt $S H=x$. Ta có:
$
* I H=x \cot 60^{\circ}=\dfrac{x}{\sqrt{3}} \text {. }
$
$* A H=S H=x$ (Do tam giác $S A H$ vuông cân ở) $H$.
Nên $A I=\sqrt{A H^2-I H^2}=\sqrt{x^2-\dfrac{x^2}{3}}=\dfrac{x \sqrt{6}}{3} \Rightarrow A B=\dfrac{2 x \sqrt{6}}{3}$.
Thể tích khối chóp $S . A B C D$ là: $V_{S \cdot A B C D}=\dfrac{1}{3} S H . S_{A B C D}=\dfrac{1}{3} \cdot x \cdot\left(\dfrac{2 x \sqrt{6}}{3}\right)^2=\dfrac{8 x^3}{9}$.
Theo bài ra ta có: $\dfrac{8 x^3}{9}=\dfrac{8 a^3 \sqrt{3}}{3} \Rightarrow x=a \sqrt{3}$.
Vậy chiều cao của hình chóp là $a \sqrt{3}$.
Đáp án A.