Google
Câu hỏi: Cho hình tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng $a$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $AD$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $CM$ theo $a$.
A. $\dfrac{a\sqrt{33}}{11}$.
B. $\dfrac{a}{\sqrt{33}}$.
C. $\dfrac{a}{\sqrt{22}}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{22}}{11}$.
Gọi $N$ là trung điểm của $BD$, $I$ là trung điểm của $MN$.
Tam giác $CMN$ là tam giác cân có $CM=CN=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}; MN=\dfrac{a}{2}\Rightarrow CI=\dfrac{a\sqrt{11}}{4}$ nên có diện tích ${{S}_{CMN}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{11}}{16}$.
Thể tích khối tứ diện đều cạnh $a$ là $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$.
Vậy thể tích khối tứ diện $M.NCD$ là ${{V}_{M.NCD}}=\dfrac{1}{4}.\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{48}$.
Vậy $d\left( D, \left( CMN \right) \right)=d\left( A, \left( CMN \right) \right)=d\left( AB, CM \right)=\dfrac{3{{V}_{M.CDN}}}{{{S}_{CMN}}}=\dfrac{\dfrac{3.{{a}^{3}}\sqrt{2}}{48}}{\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{11}}{16}}=\dfrac{a\sqrt{22}}{11}$.
Vì khối lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có thể tích bằng $8{{a}^{3}}={{\left( 2a \right)}^{3}}$ nên cạnh của hình lập phương là $2a$.
B. $\dfrac{a}{\sqrt{33}}$.
C. $\dfrac{a}{\sqrt{22}}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{22}}{11}$.
Tam giác $CMN$ là tam giác cân có $CM=CN=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}; MN=\dfrac{a}{2}\Rightarrow CI=\dfrac{a\sqrt{11}}{4}$ nên có diện tích ${{S}_{CMN}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{11}}{16}$.
Thể tích khối tứ diện đều cạnh $a$ là $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$.
Vậy thể tích khối tứ diện $M.NCD$ là ${{V}_{M.NCD}}=\dfrac{1}{4}.\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{48}$.
Vậy $d\left( D, \left( CMN \right) \right)=d\left( A, \left( CMN \right) \right)=d\left( AB, CM \right)=\dfrac{3{{V}_{M.CDN}}}{{{S}_{CMN}}}=\dfrac{\dfrac{3.{{a}^{3}}\sqrt{2}}{48}}{\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{11}}{16}}=\dfrac{a\sqrt{22}}{11}$.
Vì khối lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có thể tích bằng $8{{a}^{3}}={{\left( 2a \right)}^{3}}$ nên cạnh của hình lập phương là $2a$.
Đáp án D.