Google
Câu hỏi: Cho hình trụ có các đường tròn đáy là $\left( O \right)$ và $\left( {{O}'} \right),$ bán kính đáy bằng chiều cao và bằng $a.$ Các điểm $A,B$ lần lượt thuộc các đường tròn đáy $\left( O \right)$ và $\left( {{O}'} \right)$ sao cho $AB=\sqrt{3}a.$ Thể tích của khối tứ diện $ABO{O}'$ là
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{2}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}.$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}.$
D. ${{a}^{3}}.$
Gọi $C$ là hình chiếu của $B$ trên đường tròn đáy tâm $O$ của hình trụ. Khi đó $BC\text{//}O{O}'$ $\Rightarrow BC\text{//}\left( OA{O}' \right)$ $\Rightarrow d\left( B, \left( OA{O}' \right) \right)=d\left( C, \left( OA{O}' \right) \right)$.
Ta có: $AO\bot O{O}'$ $\Rightarrow {{S}_{\Delta AO{O}'}}=\dfrac{1}{2}AO.{O}'O=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$.
$\Delta ABC$ vuông tại $C$ có $AC=\sqrt{{{\left( AB \right)}^{2}}-{{\left( BC \right)}^{2}}}=a\sqrt{2}$, mà $AO=OC=a$ nên $\Delta AOC$ vuông cân tại $O$ $\Rightarrow CO\bot AO, O{O}'$ $\Rightarrow CO\bot \left( A{O}'O \right)$ $\Rightarrow d\left( C, \left( A{O}'O \right) \right)=CO=a$.
Vậy ${{V}_{ABO{O}'}}=\dfrac{1}{3}.CO.{{S}_{\Delta A{O}'O}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{2}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}.$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}.$
D. ${{a}^{3}}.$
Ta có: $AO\bot O{O}'$ $\Rightarrow {{S}_{\Delta AO{O}'}}=\dfrac{1}{2}AO.{O}'O=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$.
$\Delta ABC$ vuông tại $C$ có $AC=\sqrt{{{\left( AB \right)}^{2}}-{{\left( BC \right)}^{2}}}=a\sqrt{2}$, mà $AO=OC=a$ nên $\Delta AOC$ vuông cân tại $O$ $\Rightarrow CO\bot AO, O{O}'$ $\Rightarrow CO\bot \left( A{O}'O \right)$ $\Rightarrow d\left( C, \left( A{O}'O \right) \right)=CO=a$.
Vậy ${{V}_{ABO{O}'}}=\dfrac{1}{3}.CO.{{S}_{\Delta A{O}'O}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$.
Đáp án C.