Google
Câu hỏi: Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn $\left( O \right)$ và $\left( O' \right)$. Một mặt phẳng song song với trục và cách trục của hình trụ một khoảng bằng $\dfrac{10a}{3}$, cắt hình trụ theo thiết diện là một hình vuông $ABCD,A\in \left( O' \right)$. Biết góc giữa $OA$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ bằng ${{30}^{0}}$. Thể tích khối trụ đã cho bằng
A. $\dfrac{1360\sqrt{15}{{a}^{3}}}{54}\pi $.
B. $\dfrac{640\sqrt{15}{{a}^{3}}}{54}\pi $.
C. $\dfrac{1360\sqrt{15}{{a}^{3}}}{27}\pi $
D. $\dfrac{640\sqrt{15}{{a}^{3}}}{27}\pi $.
Gọi là $I$ trung điểm $CD$
Ta có
$\begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& OI\bot CD \\
& OI\bot AD \\
\end{aligned} \right. \\
& \Rightarrow OI\bot \left( ABCD \right) \\
& \Rightarrow {{d}_{\left( O,\left( ABCD \right) \right)}}=OI=\dfrac{10a}{3} \\
\end{aligned}$
Đồng thời, $\left( \widehat{OA,\left( ABCD \right)} \right)=\widehat{OAI}={{30}^{o}}$
Nên $\tan {{30}^{0}}=\dfrac{OI}{AI}\Rightarrow AD\dfrac{\sqrt{5}}{2}=\dfrac{\dfrac{10}{3}a}{\tan {{30}^{0}}}\Rightarrow h=AD=\dfrac{4\sqrt{15}}{3}a$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow R=OD=\dfrac{4\sqrt{10}}{3}a \\
& \Rightarrow V=\pi {{R}^{2}}h=\dfrac{640\sqrt{15}{{a}^{3}}}{27}\pi \\
\end{aligned}$
A. $\dfrac{1360\sqrt{15}{{a}^{3}}}{54}\pi $.
B. $\dfrac{640\sqrt{15}{{a}^{3}}}{54}\pi $.
C. $\dfrac{1360\sqrt{15}{{a}^{3}}}{27}\pi $
D. $\dfrac{640\sqrt{15}{{a}^{3}}}{27}\pi $.
Ta có
$\begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& OI\bot CD \\
& OI\bot AD \\
\end{aligned} \right. \\
& \Rightarrow OI\bot \left( ABCD \right) \\
& \Rightarrow {{d}_{\left( O,\left( ABCD \right) \right)}}=OI=\dfrac{10a}{3} \\
\end{aligned}$
Đồng thời, $\left( \widehat{OA,\left( ABCD \right)} \right)=\widehat{OAI}={{30}^{o}}$
Nên $\tan {{30}^{0}}=\dfrac{OI}{AI}\Rightarrow AD\dfrac{\sqrt{5}}{2}=\dfrac{\dfrac{10}{3}a}{\tan {{30}^{0}}}\Rightarrow h=AD=\dfrac{4\sqrt{15}}{3}a$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow R=OD=\dfrac{4\sqrt{10}}{3}a \\
& \Rightarrow V=\pi {{R}^{2}}h=\dfrac{640\sqrt{15}{{a}^{3}}}{27}\pi \\
\end{aligned}$
Đáp án D.