Google
Câu hỏi: Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn $\left( O \right)$ và $\left( {{O}'} \right)$, bán kính đáy $R=\sqrt{7}$. $AB$ là một dây cung của đường tròn $\left( O \right)$ sao cho tam giác ${O}'AB$ là tam giác đều và mặt phẳng $\left( {O}'AB \right)$ tạo với mặt phẳng chứa đường tròn $\left( O;R \right)$ một góc ${{60}^{0}}$. Thể tích của khối trụ đã cho bằng
A. $22\pi $.
B. $7\pi $.
C. $3\sqrt{7}\pi $.
D. $21\pi $.
Gọi $I$ là trung điểm của $AB$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot OI \\
& AB\bot O{O}' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( O{O}'I \right)\Rightarrow \widehat{OI{O}'}={{60}^{0}}$
Đặt $AB=x$, do $\Delta {O}'AB$ đều $\Rightarrow {O}'I=\dfrac{x\sqrt{3}}{2}$
Ta có $OI={O}'I.\cos {{60}^{0}}=\dfrac{x\sqrt{3}}{4}$
Mặt khác, $OI=\sqrt{O{{A}^{2}}-A{{I}^{2}}}=\sqrt{7-\dfrac{{{x}^{2}}}{4}}$ $\Rightarrow \sqrt{7-\dfrac{{{x}^{2}}}{4}}=\dfrac{x\sqrt{3}}{4}\Leftrightarrow 7-\dfrac{{{x}^{2}}}{4}=\dfrac{3{{x}^{2}}}{16}\Leftrightarrow x=4$ $\Rightarrow O{O}'=OI.\tan {{60}^{0}}=3$.
$V=\pi {{R}^{2}}h=\pi .{{\left( \sqrt{7} \right)}^{2}}.3=21\pi $
A. $22\pi $.
B. $7\pi $.
C. $3\sqrt{7}\pi $.
D. $21\pi $.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot OI \\
& AB\bot O{O}' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( O{O}'I \right)\Rightarrow \widehat{OI{O}'}={{60}^{0}}$
Đặt $AB=x$, do $\Delta {O}'AB$ đều $\Rightarrow {O}'I=\dfrac{x\sqrt{3}}{2}$
Ta có $OI={O}'I.\cos {{60}^{0}}=\dfrac{x\sqrt{3}}{4}$
Mặt khác, $OI=\sqrt{O{{A}^{2}}-A{{I}^{2}}}=\sqrt{7-\dfrac{{{x}^{2}}}{4}}$ $\Rightarrow \sqrt{7-\dfrac{{{x}^{2}}}{4}}=\dfrac{x\sqrt{3}}{4}\Leftrightarrow 7-\dfrac{{{x}^{2}}}{4}=\dfrac{3{{x}^{2}}}{16}\Leftrightarrow x=4$ $\Rightarrow O{O}'=OI.\tan {{60}^{0}}=3$.
$V=\pi {{R}^{2}}h=\pi .{{\left( \sqrt{7} \right)}^{2}}.3=21\pi $
Đáp án C.