Google
Câu hỏi: Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn $\left( O;R \right)$ và $\left( {O}';R \right)$ ; $AB$ là một dây cung của đường tròn $\left( O;R \right)$ sao cho tam giác ${O}'AB$ đều và mặt phẳng $\left( {O}'AB \right)$ tạo với mặt phẳng chứa đường tròn $\left( O;R \right)$ một góc $60{}^\circ $. Tính thể tích $V$ của hình trụ đã cho.
A. $V=\dfrac{\pi \sqrt{5}{{R}^{3}}}{5}$.
B. $V=\dfrac{3\pi \sqrt{5}{{R}^{3}}}{5}$.
C. $V=\dfrac{3\pi \sqrt{7}{{R}^{3}}}{7}$.
D. $V=\dfrac{\pi \sqrt{7}{{R}^{3}}}{7}$.
Kẻ $OM\bot AB$ $\Rightarrow AB\bot \left( {O}'AB \right)$ $\Rightarrow 60{}^\circ =\widehat{{O}'MO}$.
Gọi $x>0$ là độ dài cạnh tam giác đều ${O}'AB$ $\Rightarrow {O}'M=\dfrac{\sqrt{3}}{2}x$.
Ta có: $OM={O}'M.\cos 60{}^\circ =\dfrac{\sqrt{3}}{4}x$ và $O{{A}^{2}}=O{{M}^{2}}+A{{M}^{2}}\Rightarrow x=\dfrac{4\sqrt{7}}{7}R$ ; $O{O}'=OM.\tan 60{}^\circ =\dfrac{3\sqrt{7}}{7}R$.
Vậy thể tích của hình trụ $V=\pi {{r}^{2}}h=\dfrac{3\pi \sqrt{7}}{7}{{R}^{3}}$.
A. $V=\dfrac{\pi \sqrt{5}{{R}^{3}}}{5}$.
B. $V=\dfrac{3\pi \sqrt{5}{{R}^{3}}}{5}$.
C. $V=\dfrac{3\pi \sqrt{7}{{R}^{3}}}{7}$.
D. $V=\dfrac{\pi \sqrt{7}{{R}^{3}}}{7}$.
Gọi $x>0$ là độ dài cạnh tam giác đều ${O}'AB$ $\Rightarrow {O}'M=\dfrac{\sqrt{3}}{2}x$.
Ta có: $OM={O}'M.\cos 60{}^\circ =\dfrac{\sqrt{3}}{4}x$ và $O{{A}^{2}}=O{{M}^{2}}+A{{M}^{2}}\Rightarrow x=\dfrac{4\sqrt{7}}{7}R$ ; $O{O}'=OM.\tan 60{}^\circ =\dfrac{3\sqrt{7}}{7}R$.
Vậy thể tích của hình trụ $V=\pi {{r}^{2}}h=\dfrac{3\pi \sqrt{7}}{7}{{R}^{3}}$.
Đáp án C.