Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2A. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC,{B}'{C}'$ và $P,Q$ lần lượt là tâm các mặt $AB{B}'{A}'$ và $AC{C}'{A}'$. Thể tích khối tứ diện $MNPQ$ bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}.$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}.$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}.$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{48}.$
Ta có ${{V}_{M.A{B}'{C}'}}={{V}_{{A}'.A{B}'{C}'}}$.
Dựng ${A}'H\bot AN\Rightarrow {A}'H\bot \left( A{B}'{C}' \right)\Rightarrow {A}'H=d\left( M,\left( A{B}'{C}' \right) \right)=\dfrac{2a\sqrt{57}}{19}$.
Ta có: ${{S}_{\Delta A{B}'{C}'}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{19}}{4}\Rightarrow {{S}_{\Delta NPQ}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{19}}{16}$.
Suy ra: ${{V}_{MNPQ}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{2a\sqrt{57}}{19}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{19}}{16}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}.$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}.$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}.$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{48}.$
Dựng ${A}'H\bot AN\Rightarrow {A}'H\bot \left( A{B}'{C}' \right)\Rightarrow {A}'H=d\left( M,\left( A{B}'{C}' \right) \right)=\dfrac{2a\sqrt{57}}{19}$.
Ta có: ${{S}_{\Delta A{B}'{C}'}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{19}}{4}\Rightarrow {{S}_{\Delta NPQ}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{19}}{16}$.
Suy ra: ${{V}_{MNPQ}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{2a\sqrt{57}}{19}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{19}}{16}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$.
Đáp án C.