Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ tam giác đều $ABC\cdot {A}'{B}'{C}'$ có cạnh đáy bằng $2a$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng ${A}'B$ và ${C}'M$ bằng $\dfrac{a}{2}$. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho theo $a$.
A. $a^3$.
B. $4 a^3$.
C. $3 a^3$.
D. $2 a^3$.
Gọi $N$ là trung điểm của ${B}'{C}'$ từ đó $BN\text{//}{C}'M$ suy ra ${C}'M\text{//}\left( {A}'BN \right)$
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của ${B}'$ trên $BN$.
Ta có ${A}'N\bot {B}'{C}'$ ( do $\Delta {A}'{B}'{C}'$ là tam giác đều, $N$ là trung điểm của ${B}'{C}'$ )
Lại có ${A}'N\bot {B}'B$ do đó ${A}'N\bot \left( {B}'BN \right)$ suy ra ${A}'N\bot {B}'H$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {B}'H\bot BN \\
& {B}'H\bot {A}'N \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {B}'H\bot \left( {A}'BN \right)$.
Khi đó $d\left( {C}'M; {A}'B \right)=d\left( {C}'; \left( {A}'BN \right) \right)=d\left( {B}'; \left( {A}'BN \right) \right)={B}'H$ ( do $N$ là trung điểm của ${B}'{C}'$ )
$\Rightarrow {B}'H=\dfrac{a}{2}$.
Ta có: ${B}'N=\dfrac{1}{2}{B}'{C}'=a$, $\dfrac{1}{{B}'{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{{B}'{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{{B}'{{N}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{{B}'{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}\Rightarrow {B}'B=\dfrac{\sqrt{3}a}{3}$.
Diện tích tam giác đáy $ABC$ là ${{S}_{ABC}}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}.{{\left( 2a \right)}^{2}}=\sqrt{3}{{a}^{2}}$
Chiều cao lăng trụ là ${B}'B=\dfrac{\sqrt{3}a}{3}$
Thể tích khối lăng trụ đã hco bằng $V=\sqrt{3}{{a}^{2}}.\dfrac{\sqrt{3}a}{3}={{a}^{3}}$.
A. $a^3$.
B. $4 a^3$.
C. $3 a^3$.
D. $2 a^3$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của ${B}'$ trên $BN$.
Ta có ${A}'N\bot {B}'{C}'$ ( do $\Delta {A}'{B}'{C}'$ là tam giác đều, $N$ là trung điểm của ${B}'{C}'$ )
Lại có ${A}'N\bot {B}'B$ do đó ${A}'N\bot \left( {B}'BN \right)$ suy ra ${A}'N\bot {B}'H$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {B}'H\bot BN \\
& {B}'H\bot {A}'N \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {B}'H\bot \left( {A}'BN \right)$.
Khi đó $d\left( {C}'M; {A}'B \right)=d\left( {C}'; \left( {A}'BN \right) \right)=d\left( {B}'; \left( {A}'BN \right) \right)={B}'H$ ( do $N$ là trung điểm của ${B}'{C}'$ )
$\Rightarrow {B}'H=\dfrac{a}{2}$.
Ta có: ${B}'N=\dfrac{1}{2}{B}'{C}'=a$, $\dfrac{1}{{B}'{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{{B}'{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{{B}'{{N}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{{B}'{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}\Rightarrow {B}'B=\dfrac{\sqrt{3}a}{3}$.
Diện tích tam giác đáy $ABC$ là ${{S}_{ABC}}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}.{{\left( 2a \right)}^{2}}=\sqrt{3}{{a}^{2}}$
Chiều cao lăng trụ là ${B}'B=\dfrac{\sqrt{3}a}{3}$
Thể tích khối lăng trụ đã hco bằng $V=\sqrt{3}{{a}^{2}}.\dfrac{\sqrt{3}a}{3}={{a}^{3}}$.
Đáp án A.
