Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$. Biết góc giữa ${A}'C$ và mặt phẳng $\left( AB{B}'{A}' \right)$ bằng $45{}^\circ $, thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{8}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}$.
Gọi $H$ là trung điểm cạnh $AB$, do $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên $CH\bot AB$ $\Rightarrow CH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Do $\left\{ \begin{aligned}
& CH\bot AB \\
& CH\bot A{A}' \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow CH\bot \left( AB{B}'{A}' \right) $ $ \Rightarrow \widehat{\left( {A}'C, \left( AB{B}'{A}' \right) \right)}=\widehat{C{A}'H}\Rightarrow \widehat{C{A}'H}=45{}^\circ $.
Suy ra ${A}'H=CH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Ta có ${A}'A=\sqrt{{A}'{{H}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Vậy ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{ABC}}.{A}'A=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{8}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{8}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}$.
Do $\left\{ \begin{aligned}
& CH\bot AB \\
& CH\bot A{A}' \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow CH\bot \left( AB{B}'{A}' \right) $ $ \Rightarrow \widehat{\left( {A}'C, \left( AB{B}'{A}' \right) \right)}=\widehat{C{A}'H}\Rightarrow \widehat{C{A}'H}=45{}^\circ $.
Suy ra ${A}'H=CH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Ta có ${A}'A=\sqrt{{A}'{{H}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Vậy ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{ABC}}.{A}'A=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{8}$.
Đáp án B.