Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy là hình vuông, mặt bên $\left( SAB \right)$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( SCD \right)$ bằng $\dfrac{3\sqrt{7}a}{7}$. Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ bằng
A. $\dfrac{3}{2}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{1}{3}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{2}{3}{{a}^{3}}$.
D. ${{a}^{3}}$.
Gọi $H$ là trung điểm của cạnh $AB$. Do $\Delta SAB$ đều nên $SH\bot AB$.
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right) \\
& \left( SAB \right)\cap \left( ABCD \right)=AB \\
& SH\bot AB \\
& SH\subset \left( SAB \right) \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$.
$\Rightarrow SH$ là chiều cao của khối chóp $S.ABCD$.
$AH \text{//} CD$ $\Rightarrow AH \text{//} \left( SCD \right)$ $\Rightarrow d\left( A , \left( SCD \right) \right)=d\left( H , \left( SCD \right) \right)$.
Kẻ $HE\bot CD$, $E\in CD$, $HK\bot SE$, $K\in SE$ $\Rightarrow HK\bot \left( SCD \right)$ $\Rightarrow HK=d\left( H , \left( SCD \right) \right)$.
Đặt $AB=x$, $\left( x>0 \right)$ $\Rightarrow HE=x$, $SH=\dfrac{x\sqrt{3}}{2}$.
Trong tam giác vuông $SHE$, ta có:
$\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{E}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}$ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{\left( \dfrac{3\sqrt{7}a}{7} \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{x\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}$ $\Leftrightarrow x=\sqrt{3}a$ $\Rightarrow AB=a\sqrt{3}$.
Vậy thể tích của khối chóp $S.ABCD$ là: ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SH=\dfrac{1}{3}.{{\left( \sqrt{3}a \right)}^{2}}.\dfrac{a\sqrt{3}.\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3{{a}^{3}}}{2}$.
A. $\dfrac{3}{2}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{1}{3}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{2}{3}{{a}^{3}}$.
D. ${{a}^{3}}$.
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right) \\
& \left( SAB \right)\cap \left( ABCD \right)=AB \\
& SH\bot AB \\
& SH\subset \left( SAB \right) \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$.
$\Rightarrow SH$ là chiều cao của khối chóp $S.ABCD$.
$AH \text{//} CD$ $\Rightarrow AH \text{//} \left( SCD \right)$ $\Rightarrow d\left( A , \left( SCD \right) \right)=d\left( H , \left( SCD \right) \right)$.
Kẻ $HE\bot CD$, $E\in CD$, $HK\bot SE$, $K\in SE$ $\Rightarrow HK\bot \left( SCD \right)$ $\Rightarrow HK=d\left( H , \left( SCD \right) \right)$.
Đặt $AB=x$, $\left( x>0 \right)$ $\Rightarrow HE=x$, $SH=\dfrac{x\sqrt{3}}{2}$.
Trong tam giác vuông $SHE$, ta có:
$\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{E}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}$ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{\left( \dfrac{3\sqrt{7}a}{7} \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{x\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}$ $\Leftrightarrow x=\sqrt{3}a$ $\Rightarrow AB=a\sqrt{3}$.
Vậy thể tích của khối chóp $S.ABCD$ là: ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SH=\dfrac{1}{3}.{{\left( \sqrt{3}a \right)}^{2}}.\dfrac{a\sqrt{3}.\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3{{a}^{3}}}{2}$.
Đáp án A.