Google
Câu hỏi: Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, mặt bên $\left( SAB \right)$ là tam giác vuông cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( SCD \right)$ bằng $\dfrac{3a\sqrt{5}}{5}$. Tính thể tích của khối chóp $S.ABCD$ ?
A. $\dfrac{9}{2}{{a}^{3}}$.
B. $3\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{27}{2}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{3}{2}{{a}^{3}}$.
Đặt cạnh hình vuông $ABCD$ là $x \left( x>0 \right).$
Tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$ suy ra chiều cao $SH=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{x}{2}$.
Mà $\left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right).$
Gọi $M$ là trung điểm của $CD$ $\Rightarrow CD\bot HM$. Lại có $CD\bot SH \left( do SH\bot \left( ABCD \right) \right)$ $\Rightarrow CD\bot \left( SHM \right)$.
Gọi $K$ là hình chiếu của $H$ lên $SM$ $\Rightarrow HK\subset \left( SHM \right)\Rightarrow CD\bot HK$. Suy ra $HK\bot \left( SCD \right).$
$\Rightarrow d\left( H,\left( SCD \right) \right)=HK$.
Lại có: $AB\parallel CD\Rightarrow AB\parallel \left( SCD \right)$ mà $H\in AB$ $\Rightarrow d\left( A,\left( SCD \right) \right)=d\left( H,\left( SCD \right) \right)=HK=\dfrac{3a\sqrt{5}}{5}.$
Trong tam giác $SHM$ vuông tại $H$ có:
$\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{M}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{5}{9{{a}^{2}}}=\dfrac{4}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{5}{9{{a}^{2}}}=\dfrac{5}{{{x}^{2}}}\Rightarrow x=3a.$
Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ là: $V=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3a}{2}.{{\left( 3a \right)}^{2}}=\dfrac{9{{a}^{3}}}{2}$.
A. $\dfrac{9}{2}{{a}^{3}}$.
B. $3\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{27}{2}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{3}{2}{{a}^{3}}$.
Tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$ suy ra chiều cao $SH=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{x}{2}$.
Mà $\left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right).$
Gọi $M$ là trung điểm của $CD$ $\Rightarrow CD\bot HM$. Lại có $CD\bot SH \left( do SH\bot \left( ABCD \right) \right)$ $\Rightarrow CD\bot \left( SHM \right)$.
Gọi $K$ là hình chiếu của $H$ lên $SM$ $\Rightarrow HK\subset \left( SHM \right)\Rightarrow CD\bot HK$. Suy ra $HK\bot \left( SCD \right).$
$\Rightarrow d\left( H,\left( SCD \right) \right)=HK$.
Lại có: $AB\parallel CD\Rightarrow AB\parallel \left( SCD \right)$ mà $H\in AB$ $\Rightarrow d\left( A,\left( SCD \right) \right)=d\left( H,\left( SCD \right) \right)=HK=\dfrac{3a\sqrt{5}}{5}.$
Trong tam giác $SHM$ vuông tại $H$ có:
$\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{M}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{5}{9{{a}^{2}}}=\dfrac{4}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{5}{9{{a}^{2}}}=\dfrac{5}{{{x}^{2}}}\Rightarrow x=3a.$
Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ là: $V=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3a}{2}.{{\left( 3a \right)}^{2}}=\dfrac{9{{a}^{3}}}{2}$.
Đáp án A.
