Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh a, mặt bên $SAB$ là tam giác đều,
$SC=SD=a\sqrt{3}$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$.
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$.
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$.
Gọi $E$ là trung điểm của $AB$ suy ra $SE\bot AB, SE=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Gọi $F$ là trung điểm $CD$ suy ra $SF\bot CD, SF=\sqrt{S{{C}^{2}}-F{{C}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{11}}{2}$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot SE \\
& AB\bot EF \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& AB\bot \left( SEF \right) \\
& AB\subset \left( ABCD \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left( SEF \right)\bot \left( ABCD \right).$
Dựng $SH\bot EF\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right).$
Xét $\vartriangle SEF$ có: $EF=a, SE=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}, SF=\dfrac{a\sqrt{11}}{2}$, $p=\dfrac{SE+EF+SF}{3}$.
Khi đó: ${{S}_{\vartriangle SEF}}=\sqrt{p\left( p-SE \right)\left( p-SF \right)\left( P-EF \right)}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{4}\Rightarrow SH=\dfrac{2{{S}_{\vartriangle SEF}}}{EF}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
Thể tích khối chóp: $V=\dfrac{1}{3}{{a}^{2}}\dfrac{a\sqrt{2}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$
$SC=SD=a\sqrt{3}$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$.
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$.
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$.
Gọi $F$ là trung điểm $CD$ suy ra $SF\bot CD, SF=\sqrt{S{{C}^{2}}-F{{C}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{11}}{2}$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot SE \\
& AB\bot EF \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& AB\bot \left( SEF \right) \\
& AB\subset \left( ABCD \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left( SEF \right)\bot \left( ABCD \right).$
Dựng $SH\bot EF\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right).$
Xét $\vartriangle SEF$ có: $EF=a, SE=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}, SF=\dfrac{a\sqrt{11}}{2}$, $p=\dfrac{SE+EF+SF}{3}$.
Khi đó: ${{S}_{\vartriangle SEF}}=\sqrt{p\left( p-SE \right)\left( p-SF \right)\left( P-EF \right)}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{4}\Rightarrow SH=\dfrac{2{{S}_{\vartriangle SEF}}}{EF}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
Thể tích khối chóp: $V=\dfrac{1}{3}{{a}^{2}}\dfrac{a\sqrt{2}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$
Đáp án D.
