Cho hình chóp tứ giác $S . A B C D$ có đáy là hình vuông cạnh $a$...

Gọi $M$ là trung điểm $A D$.
Vì tam giác $S A D$ cân tại $S$ và mặt bên $(S A D)$ vuông góc với mặt phẳng đáy nên $S M \perp(A B C D)$.
Ta có: $V_{A B C D}=\dfrac{1}{3} S_{A B C D} . S M \Leftrightarrow S M=\dfrac{3 V_{A B C D}}{S_{A B C D}}=\dfrac{3 a^3}{a^2}=3 a$.
Ta có: $A B / / C D \Rightarrow A B / /(S C D) \Rightarrow d(B,(S C D))=d(A,(S C D))$
Mà $d(A,(S C D))=2 d(M,(S C D))$ (do $M$ là trung điểm $A D)$
Nên $d(B,(S C D))=2 d(M,(S C D))(1)$.
Ta có: $C D \perp A D(\mathrm{gt}), C D \perp S M$ (vì $S M \perp(A B C D)) \Rightarrow C D \perp(S A D)$.
Trong tam giác $S M D$, gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên cạnh $S D$.
Khi đó ta có: $H M \perp S D$ và $H M \perp C D$ (vì $C D \perp(S A D)$ mà $H M \subset(S A D))$
$\Rightarrow H M \perp(S C D) \Rightarrow d(M,(S C D))=M H(2)$.
Trong $\triangle S M D$ vuông tại $M$, đường cao $M H$ có:
$
\dfrac{1}{M H^2}=\dfrac{1}{S M^2}+\dfrac{1}{M D^2}=\dfrac{1}{(3 a)^2}+\dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{2} a\right)^2}=\dfrac{37}{9 a^2}
$
$\Rightarrow M H=\dfrac{3 a}{\sqrt{37}}$
Từ (1) và $(2)$ suy ra $d(B,(S C D))=\dfrac{6 a}{\sqrt{37}}$.