Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S . A B C D$ có $A B C D$ là hình vuông cạnh $a$. Tam giác $S A B$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $(A B C D)$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $B C$ và $S D$ là
A. $a$.
B. $\dfrac{a \sqrt{3}}{2}$.
C. $\dfrac{a \sqrt{3}}{4}$.
D. $\dfrac{a \sqrt{2}}{2}$.
Gọi $H$ là trung điểm $A B$. Do tam giác $S A B$ đều nên $S H \perp A B$.
Mặt khác $(S A B) \perp(A B C D)$ và $(S A B) \cap(A B C D)=A B$ nên $S H \perp(A B C D)$.
Ta có $\left\{\begin{array}{l}B C / / A D \\ A D \subset(S A D)\end{array} \Rightarrow B C / /(S A D)\right.$.
$d(B C, S D)=d(B C,(S A D))=d(B,(S A D))=2 d(H,(S A D))$.
Ta có $\left\{\begin{array}{l}A D \perp A B \\ A D \perp S H\end{array} \Rightarrow A D \perp(S A B) \Rightarrow(S A D) \perp(S A B)\right.$.
Kẻ $H K \perp S A(K \in S A)$ suy ra $H K \perp(S A D) \Rightarrow d(H,(S A D))=H K$.
Trong tam giác $S H A$ ta có $\dfrac{1}{H K^2}=\dfrac{1}{H S^2}+\dfrac{1}{H A^2} \Leftrightarrow \dfrac{1}{H K^2}=\dfrac{1}{\left(\dfrac{a \sqrt{3}}{2}\right)^2}+\dfrac{1}{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2} \Leftrightarrow H K=\dfrac{a \sqrt{3}}{4}$.
Vậy $d(B C, S D)=2 H K=\dfrac{a \sqrt{3}}{2}$.
A. $a$.
B. $\dfrac{a \sqrt{3}}{2}$.
C. $\dfrac{a \sqrt{3}}{4}$.
D. $\dfrac{a \sqrt{2}}{2}$.
Mặt khác $(S A B) \perp(A B C D)$ và $(S A B) \cap(A B C D)=A B$ nên $S H \perp(A B C D)$.
Ta có $\left\{\begin{array}{l}B C / / A D \\ A D \subset(S A D)\end{array} \Rightarrow B C / /(S A D)\right.$.
$d(B C, S D)=d(B C,(S A D))=d(B,(S A D))=2 d(H,(S A D))$.
Ta có $\left\{\begin{array}{l}A D \perp A B \\ A D \perp S H\end{array} \Rightarrow A D \perp(S A B) \Rightarrow(S A D) \perp(S A B)\right.$.
Kẻ $H K \perp S A(K \in S A)$ suy ra $H K \perp(S A D) \Rightarrow d(H,(S A D))=H K$.
Trong tam giác $S H A$ ta có $\dfrac{1}{H K^2}=\dfrac{1}{H S^2}+\dfrac{1}{H A^2} \Leftrightarrow \dfrac{1}{H K^2}=\dfrac{1}{\left(\dfrac{a \sqrt{3}}{2}\right)^2}+\dfrac{1}{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2} \Leftrightarrow H K=\dfrac{a \sqrt{3}}{4}$.
Vậy $d(B C, S D)=2 H K=\dfrac{a \sqrt{3}}{2}$.
Đáp án B.