Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều $S . A B C D$ có cạnh đáy bằng $a$, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng $60^{\circ}$. Gọi $O$ là giao điểm của $A C$ và $B D$. Tính khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $(S A B)$.
A. $\dfrac{a \sqrt{3}}{4}$.
B. $\dfrac{a}{4}$.
C. $\dfrac{a}{3}$.
D. $\dfrac{a \sqrt{3}}{2}$.
Gọi $H$ là trung điểm của $A B \Rightarrow O H \perp A B$.
Do $S . A B C D$ là hình chóp tứ giác đều nên $S O \perp(A B C D)$ và $\triangle S A B$ cân tại $S$.
$\Rightarrow S H \perp A B \Rightarrow$ Góc giữa $(S A B)$ và $(A B C D)$ chính là góc giữa $S H$ và $O H$ hay $\widehat{S H O}=60^{\circ}$.
Ta có, $A B \perp(S O H) \Rightarrow(S A B) \perp(S O H)$. Trong $(S O H)$, kẻ $O K \perp S H$ thì $O K \perp(S A B)$.
$\Rightarrow d(O ;(S A B))=O K$.
Lại có, $O H=\dfrac{a}{2} ; \widehat{S H O}=60^{\circ}$ nên suy ra $O K=O H \cdot \sin 60^{\circ}=\dfrac{a}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a \sqrt{3}}{4}$.
Vậy $d(O ;(S A B))=O K=\dfrac{a \sqrt{3}}{4}$.
A. $\dfrac{a \sqrt{3}}{4}$.
B. $\dfrac{a}{4}$.
C. $\dfrac{a}{3}$.
D. $\dfrac{a \sqrt{3}}{2}$.
Do $S . A B C D$ là hình chóp tứ giác đều nên $S O \perp(A B C D)$ và $\triangle S A B$ cân tại $S$.
$\Rightarrow S H \perp A B \Rightarrow$ Góc giữa $(S A B)$ và $(A B C D)$ chính là góc giữa $S H$ và $O H$ hay $\widehat{S H O}=60^{\circ}$.
Ta có, $A B \perp(S O H) \Rightarrow(S A B) \perp(S O H)$. Trong $(S O H)$, kẻ $O K \perp S H$ thì $O K \perp(S A B)$.
$\Rightarrow d(O ;(S A B))=O K$.
Lại có, $O H=\dfrac{a}{2} ; \widehat{S H O}=60^{\circ}$ nên suy ra $O K=O H \cdot \sin 60^{\circ}=\dfrac{a}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a \sqrt{3}}{4}$.
Vậy $d(O ;(S A B))=O K=\dfrac{a \sqrt{3}}{4}$.
Đáp án A.
