Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{2}}{12}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{\sqrt{2}}{6}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{\sqrt{2}}{4}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}{{a}^{3}}$.
Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ có: $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}$.
Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$ suy ra $AO=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Vì $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều nên $SO\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SO\bot AC$ tại $O$.
Tam giác $SAO$ vuông tại $O$ có: $SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{O}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Vậy: ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SO.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.\dfrac{1}{2}{{a}^{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{12}{{a}^{3}}$.
A. $\dfrac{\sqrt{2}}{12}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{\sqrt{2}}{6}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{\sqrt{2}}{4}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}{{a}^{3}}$.
Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$ suy ra $AO=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Vì $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều nên $SO\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SO\bot AC$ tại $O$.
Tam giác $SAO$ vuông tại $O$ có: $SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{O}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Vậy: ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SO.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.\dfrac{1}{2}{{a}^{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{12}{{a}^{3}}$.
Đáp án A.
