Google
Câu hỏi: Thể tích của khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng $a$ là
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$.
C. ${{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$.
Giả sử khối chóp tứ giác đều đã cho là $S.ABCD$. Khi đó $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ và $SA=SB=SC=SD=a$.
Gọi $H$ là tâm của hình vuông $ABCD$ thì $SH\bot \left( ABCD \right)$ nên $SH$ là chiều cao của khối chóp $S.ABCD$. Tính $SH$ :
Xét tam giác $ABC$ vuông tại $B$ ta có: $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}$ $=\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}$ $=a\sqrt{2}$.
Nhận thấy $A{{C}^{2}}=S{{A}^{2}}+S{{C}^{2}}$ nên tam giác $SAC$ vuông tại $S$. Suy ra $SH=\dfrac{AC}{2}$ $=\dfrac{a}{\sqrt{2}}$.
Diện tích đáy của khối chóp $S.ABCD$ là ${{S}_{ABCD}}={{a}^{2}}$.
Vậy thể tích khối chóp $S.ABCD$ là: $V=\dfrac{1}{3}.{{S}_{ABCD}}.SH$ $=\dfrac{1}{3}.{{a}^{2}}.\dfrac{a}{\sqrt{2}}$ $=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$.
C. ${{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$.
Gọi $H$ là tâm của hình vuông $ABCD$ thì $SH\bot \left( ABCD \right)$ nên $SH$ là chiều cao của khối chóp $S.ABCD$. Tính $SH$ :
Xét tam giác $ABC$ vuông tại $B$ ta có: $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}$ $=\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}$ $=a\sqrt{2}$.
Nhận thấy $A{{C}^{2}}=S{{A}^{2}}+S{{C}^{2}}$ nên tam giác $SAC$ vuông tại $S$. Suy ra $SH=\dfrac{AC}{2}$ $=\dfrac{a}{\sqrt{2}}$.
Diện tích đáy của khối chóp $S.ABCD$ là ${{S}_{ABCD}}={{a}^{2}}$.
Vậy thể tích khối chóp $S.ABCD$ là: $V=\dfrac{1}{3}.{{S}_{ABCD}}.SH$ $=\dfrac{1}{3}.{{a}^{2}}.\dfrac{a}{\sqrt{2}}$ $=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$.
Đáp án A.
