Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$ (tham khảo hình vẽ).
Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( SBD \right)$ bằng
A. $90{}^\circ $.
B. $30{}^\circ $.
C. $60{}^\circ $.
D. $45{}^\circ $.
A. $90{}^\circ $.
B. $30{}^\circ $.
C. $60{}^\circ $.
D. $45{}^\circ $.
Ta có hình vẽ:
Gọi $O=AC\cap BD$ $\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right)$ (do $S.ABCD$ là hình chóp đều).
Ta thấy $\left\{ \begin{aligned}
& OC\bot BD \\
& OC\bot SO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow OC\bot \left( SBD \right) $ tại $ O $ $ \Rightarrow \left( \widehat{SC;\left( SBD \right)} \right)=\widehat{CSO}=\varphi $.
Tam giác $OSC$ vuông tại $O$ có $\left\{ \begin{aligned}
& OC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\
& SC=a \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow \sin \varphi =\dfrac{OC}{SC}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
$\Rightarrow \varphi =45{}^\circ $.
Ta thấy $\left\{ \begin{aligned}
& OC\bot BD \\
& OC\bot SO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow OC\bot \left( SBD \right) $ tại $ O $ $ \Rightarrow \left( \widehat{SC;\left( SBD \right)} \right)=\widehat{CSO}=\varphi $.
Tam giác $OSC$ vuông tại $O$ có $\left\{ \begin{aligned}
& OC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\
& SC=a \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow \sin \varphi =\dfrac{OC}{SC}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
$\Rightarrow \varphi =45{}^\circ $.
Đáp án D.