Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Gọi $M$ là trung điểm $SD$ khi đó $\sin \left( CM,\left( ABCD \right) \right)$ bằng
A. $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\cdot $
B. $\dfrac{\sqrt{30}}{6}\cdot $
C. $\dfrac{\sqrt{5}}{5}\cdot $
D. $\dfrac{\sqrt{6}}{6}\cdot $
Do $M$ là trung điểm của $SD\Rightarrow CM\bot SD\Rightarrow CM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $M$ lên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$, suy ra H là trùng với trung điểm $OD$
Trong tam giác vuông $SOD$ có $SO=\sqrt{S{{D}^{2}}-O{{D}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow MH=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}$.
Ta có $\sin \left( CM,\left( ABCD \right) \right)=\sin \left( CM,CH \right)=\dfrac{MH}{CM}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{2}}{4}}{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{\sqrt{6}}{6}$.
A. $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\cdot $
B. $\dfrac{\sqrt{30}}{6}\cdot $
C. $\dfrac{\sqrt{5}}{5}\cdot $
D. $\dfrac{\sqrt{6}}{6}\cdot $
Gọi $H$ là hình chiếu của $M$ lên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$, suy ra H là trùng với trung điểm $OD$
Trong tam giác vuông $SOD$ có $SO=\sqrt{S{{D}^{2}}-O{{D}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow MH=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}$.
Ta có $\sin \left( CM,\left( ABCD \right) \right)=\sin \left( CM,CH \right)=\dfrac{MH}{CM}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{2}}{4}}{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{\sqrt{6}}{6}$.
Đáp án D.
