Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy tam giác đều cạnh $a$. Cạnh bên $SA=a\sqrt{3}$ vuông góc với mặt đáy $\left( ABC \right)$. Gọi $\varphi $ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và $\left( ABC \right)$. Khi đó $\sin \varphi $ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{5}$.
B. $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$.
C. $\dfrac{2\sqrt{3}}{5}$.
D. $\dfrac{\sqrt{5}}{5}$.
Ta có $\left( SBC \right)\cap \left( ABC \right)=BC$ ; gọi $M$ là trung điểm $BC$, tam giác $ABC$ đều nên $AM\bot BC$.
$\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AM \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot SM$.
Từ, và ta có $\varphi =\left( SM,AM \right)=\widehat{SMA}$.
$SM=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{M}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{15}}{2}$.
$\sin \varphi =\sin \widehat{SMA}=\dfrac{SA}{SM}=a\sqrt{3}:\dfrac{a\sqrt{15}}{2}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$.
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{5}$.
B. $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$.
C. $\dfrac{2\sqrt{3}}{5}$.
D. $\dfrac{\sqrt{5}}{5}$.
$\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AM \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot SM$.
Từ, và ta có $\varphi =\left( SM,AM \right)=\widehat{SMA}$.
$SM=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{M}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{15}}{2}$.
$\sin \varphi =\sin \widehat{SMA}=\dfrac{SA}{SM}=a\sqrt{3}:\dfrac{a\sqrt{15}}{2}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$.
Đáp án B.