Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $A$ và...

Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ trên $\left( ABC \right)$ $\Rightarrow SH\bot \left( ABC \right)$. Kẻ $HE\bot AB,E\in AB$ và $HF\bot AC,F\in AC$.
Ta có $\left\{ \begin{matrix}
AB=\left( SAB \right)\cap \left( ABC \right) \\
SH\bot AB \\
HE\bot AB \\
\Rightarrow SE\bot AB \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow \left( \left( SAB \right),\left( ABC \right) \right)=\left( EH,ES \right)=\widehat{HES}=45{}^\circ \left( \widehat{SHE}=90{}^\circ \right)$
$\Rightarrow \Delta SHE$ vuông cân $\Rightarrow EH=SH$.
Ta có $\left\{ \begin{matrix}
AC=\left( SAC \right)\cap \left( ABC \right) \\
SH\bot AC \\
HF\bot AC \\
\Rightarrow SF\bot AC \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow \left( \left( SAC \right),\left( ABC \right) \right)=\left( SF,FS \right)=\widehat{HFS}=60{}^\circ \left( \widehat{SHF}=90{}^\circ \right)$
$\Delta SHF$ vuông nên $HF=\dfrac{HS}{\tan \widehat{SHF}}=\dfrac{HS}{\tan 60{}^\circ }=\dfrac{HS}{\sqrt{3}}$.
Mà tứ giác $HEAF$ là hình chữ nhật $AH=E{{F}^{2}}=\sqrt{H{{E}^{2}}+H{{F}^{2}}}=\dfrac{2SH\sqrt{3}}{3}$.
Ta có tam giác $SHA$ vuông tại $H$ $S{{A}^{2}}=S{{H}^{2}}+H{{A}^{2}}=\dfrac{7}{3}S{{H}^{2}}\Rightarrow SH=\dfrac{\sqrt{21}}{7}SA=\dfrac{\sqrt{21}}{7}$.
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{6}SH.AB.AC=\dfrac{1}{6}\dfrac{\sqrt{21}}{7}\sqrt{3}\sqrt{7}=\dfrac{1}{2}$.