Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B, AB=1$ và $AC=2$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAC \right)$ và $\left( SBC \right)$ bằng ${{60}^{0}}$. Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$.
B. $\sqrt{6}$.
C. $\dfrac{\sqrt{6}}{12}$.
D. $\dfrac{\sqrt{6}}{6}$.
Ta có $BC=\sqrt{3}\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.BC=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$,
Gọi $H, K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB$ và $SC$.
Ta có $BC\bot AB, BC\bot SA\Rightarrow BC\bot AH$, khi đó $AH\bot BC, AH\bot SB\Rightarrow AH\bot \left( SBC \right)$ hay $d\left( A,\left( SBC \right) \right)=AH$.
Ta có $\sin {{60}^{0}}=\dfrac{d\left( A,\left( SBC \right) \right)}{d\left( A,SC \right)}=\dfrac{AH}{AK}=\dfrac{SA.AB}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}}:\dfrac{SA.AC}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}}$
Khi đó $\dfrac{\sqrt{S{{A}^{2}}+4}}{2\sqrt{S{{A}^{2}}+1}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow 3\left( S{{A}^{2}}+1 \right)=S{{A}^{2}}+4\Rightarrow SA=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta ABC}}.SA=\dfrac{1}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{6}}{12}$.
A. $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$.
B. $\sqrt{6}$.
C. $\dfrac{\sqrt{6}}{12}$.
D. $\dfrac{\sqrt{6}}{6}$.
Gọi $H, K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB$ và $SC$.
Ta có $BC\bot AB, BC\bot SA\Rightarrow BC\bot AH$, khi đó $AH\bot BC, AH\bot SB\Rightarrow AH\bot \left( SBC \right)$ hay $d\left( A,\left( SBC \right) \right)=AH$.
Ta có $\sin {{60}^{0}}=\dfrac{d\left( A,\left( SBC \right) \right)}{d\left( A,SC \right)}=\dfrac{AH}{AK}=\dfrac{SA.AB}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}}:\dfrac{SA.AC}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}}$
Khi đó $\dfrac{\sqrt{S{{A}^{2}}+4}}{2\sqrt{S{{A}^{2}}+1}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow 3\left( S{{A}^{2}}+1 \right)=S{{A}^{2}}+4\Rightarrow SA=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta ABC}}.SA=\dfrac{1}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{6}}{12}$.
Đáp án C.