Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $AC=a\sqrt{3}$, $\widehat{ABC}={{60}^{0}}$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Biết $SA=SB=SM=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$. Tính khoảng cách $d$ từ đỉnh $S$ đến $\left( ABC \right)$
A. $d=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$.
B. $d=a$.
C. $d=2a$.
D. $d=a\sqrt{3}$.
Vì $\Delta ABC$ vuông tại $A$, $M$ là trung điểm của $BC$ và $\widehat{ABC}={{60}^{0}}$ suy ra $\Delta ABM$ đều.
$SA=SB=SM=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$. Suy ra, hình chóp $S.ABM$ đều.
Xét $\Delta ABC$ : $\sin {{60}^{0}}=\dfrac{AC}{BC}\Rightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{BC}\Rightarrow BC=2a\Rightarrow AM=AB=BM=a$.
Gọi $H$ là trọng tâm $\Delta ABC$ nên $H$ là chân đường cao kẻ từ $S$ xuống $\left( ABC \right)$.
$\Delta ABC$ đều cạnh $a$ nên $MH=\dfrac{2}{3}MN=\dfrac{2}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$ (với $N$ là trung điểm $AB$ ).
Xét $\Delta SHM$ vuông tại $H$ :
$d\left( S,\left( ABC \right) \right)=SH=\sqrt{S{{M}^{2}}-M{{H}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{2a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}=a$.
A. $d=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$.
B. $d=a$.
C. $d=2a$.
D. $d=a\sqrt{3}$.
$SA=SB=SM=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$. Suy ra, hình chóp $S.ABM$ đều.
Xét $\Delta ABC$ : $\sin {{60}^{0}}=\dfrac{AC}{BC}\Rightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{BC}\Rightarrow BC=2a\Rightarrow AM=AB=BM=a$.
Gọi $H$ là trọng tâm $\Delta ABC$ nên $H$ là chân đường cao kẻ từ $S$ xuống $\left( ABC \right)$.
$\Delta ABC$ đều cạnh $a$ nên $MH=\dfrac{2}{3}MN=\dfrac{2}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$ (với $N$ là trung điểm $AB$ ).
Xét $\Delta SHM$ vuông tại $H$ :
$d\left( S,\left( ABC \right) \right)=SH=\sqrt{S{{M}^{2}}-M{{H}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{2a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}=a$.
Đáp án B.