Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $\left( SAC \right)\bot \left( ABC \right)$, $AB=3a,BC=5a$. Biết rằng $SA=2a\sqrt{3}$ và $\widehat{SAC}=30{}^\circ $. Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$ bằng:
A. $\dfrac{3a\sqrt{17}}{4}$.
B. $\dfrac{6a\sqrt{7}}{7}$.
C. $\dfrac{3a\sqrt{7}}{14}$.
D. $\dfrac{12a}{5}$.
Ta có:$\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAC \right)\bot \left( ABC \right) \\
& \left( SAC \right)\cap \left( ABC \right)=AC \\
& AB\bot AC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SAC \right) $, $ AC=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=4a$.
Theo định lý côsin ta có:
$S{{C}^{2}}=A{{S}^{2}}+A{{C}^{2}}-2.AS.AC.\cos 30{}^\circ =16{{a}^{2}}+12{{a}^{2}}-2.4a.2a\sqrt{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=4{{a}^{2}}=A{{C}^{2}}-A{{S}^{2}}$
$\Rightarrow \Delta SAC$ vuông tại $S$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB$ ta có $SC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& AH\bot SB \\
& AH\bot SC \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow AH\bot \left( SBC \right)\Rightarrow d\left( A;\left( SBC \right) \right)=AH$, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông $SAB$ ta có:
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{S}^{2}}}=\dfrac{1}{9{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{12{{a}^{2}}}=\dfrac{7}{36{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{6a\sqrt{7}}{7}=d\left( A;\left( SBC \right) \right)$.
A. $\dfrac{3a\sqrt{17}}{4}$.
B. $\dfrac{6a\sqrt{7}}{7}$.
C. $\dfrac{3a\sqrt{7}}{14}$.
D. $\dfrac{12a}{5}$.
& \left( SAC \right)\bot \left( ABC \right) \\
& \left( SAC \right)\cap \left( ABC \right)=AC \\
& AB\bot AC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SAC \right) $, $ AC=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=4a$.
Theo định lý côsin ta có:
$S{{C}^{2}}=A{{S}^{2}}+A{{C}^{2}}-2.AS.AC.\cos 30{}^\circ =16{{a}^{2}}+12{{a}^{2}}-2.4a.2a\sqrt{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=4{{a}^{2}}=A{{C}^{2}}-A{{S}^{2}}$
$\Rightarrow \Delta SAC$ vuông tại $S$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB$ ta có $SC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& AH\bot SB \\
& AH\bot SC \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow AH\bot \left( SBC \right)\Rightarrow d\left( A;\left( SBC \right) \right)=AH$, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông $SAB$ ta có:
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{S}^{2}}}=\dfrac{1}{9{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{12{{a}^{2}}}=\dfrac{7}{36{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{6a\sqrt{7}}{7}=d\left( A;\left( SBC \right) \right)$.
Đáp án B.