Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ với $AB=BC=a\sqrt{3}$, góc $\widehat{SAB}=\widehat{SCB}=90{}^\circ $ và khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$ bằng $a\sqrt{2}$. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.
A. $16\pi {{a}^{2}}$.
B. $2\pi {{a}^{2}}$.
C. $8\pi {{a}^{2}}$.
D. $12\pi {{a}^{2}}$.
Gọi $I$ là trung điểm $SB$
Ta có: + $IS=IA=IB$ ( $\Delta SAB$ vuông tại $A$ )
+ $IS=IC=IB$ ( $\Delta SCB$ vuông tại $C$ )
$\Rightarrow IS=IB=IA=IC=R$ $\Rightarrow $ $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.
Gọi $E$ là trung điểm $AC$, mà $\Delta ABC$ vuông tại $B$
Nên $IE$ là trục đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.
$\Rightarrow IE\bot \left( ABC \right)$ tại $E$.
Ta có: $AE\cap \left( SBC \right)=C\Rightarrow \dfrac{d\left[ E,\left( SBC \right) \right]}{d\left[ A,\left( SBC \right) \right]}=\dfrac{EC}{AC}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow d\left[ E,\left( SBC \right) \right]=\dfrac{1}{2}d\left[ A,\left( SBC \right) \right]=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
$\Rightarrow EH=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$. Ta có: $\dfrac{1}{E{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{E{{H}^{2}}}-\dfrac{1}{E{{F}^{2}}}\Rightarrow EI=\sqrt{\dfrac{1}{\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}-\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$
$EB=\left( a\sqrt{3} \right).\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$ $\Rightarrow IB=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.\sqrt{2}=a\sqrt{3}$
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ : ${{S}_{\left( I;IB \right)}}=4\pi {{R}^{2}}=12\pi {{a}^{2}}$.
A. $16\pi {{a}^{2}}$.
B. $2\pi {{a}^{2}}$.
C. $8\pi {{a}^{2}}$.
D. $12\pi {{a}^{2}}$.
Ta có: + $IS=IA=IB$ ( $\Delta SAB$ vuông tại $A$ )
+ $IS=IC=IB$ ( $\Delta SCB$ vuông tại $C$ )
$\Rightarrow IS=IB=IA=IC=R$ $\Rightarrow $ $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.
Gọi $E$ là trung điểm $AC$, mà $\Delta ABC$ vuông tại $B$
Nên $IE$ là trục đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.
$\Rightarrow IE\bot \left( ABC \right)$ tại $E$.
Ta có: $AE\cap \left( SBC \right)=C\Rightarrow \dfrac{d\left[ E,\left( SBC \right) \right]}{d\left[ A,\left( SBC \right) \right]}=\dfrac{EC}{AC}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow d\left[ E,\left( SBC \right) \right]=\dfrac{1}{2}d\left[ A,\left( SBC \right) \right]=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
$\Rightarrow EH=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$. Ta có: $\dfrac{1}{E{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{E{{H}^{2}}}-\dfrac{1}{E{{F}^{2}}}\Rightarrow EI=\sqrt{\dfrac{1}{\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}-\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$
$EB=\left( a\sqrt{3} \right).\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$ $\Rightarrow IB=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.\sqrt{2}=a\sqrt{3}$
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ : ${{S}_{\left( I;IB \right)}}=4\pi {{R}^{2}}=12\pi {{a}^{2}}$.
Đáp án D.