Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy ABC là tam giác vuông tại $A,AB=1cm,AC=\sqrt{3}cm$. Tam giác $SAB,\ SAC$ lần lượt vuông tại $B$ và $C$. Khối cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ có thể tích bằng $\dfrac{5\sqrt{5}\pi }{6} c{{m}^{3}}$. Tính khoảng cách từ $B$ tới $\left( SAC \right)$.
A. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}cm.$
B. $\dfrac{\sqrt{5}}{2}cm.$
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{4}cm.$
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}cm.$
A. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}cm.$
B. $\dfrac{\sqrt{5}}{2}cm.$
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{4}cm.$
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}cm.$
Gọi $I$ là trung điểm của $SA$.
Tam giác $SAB,SAC$ vuông tại $B,C\Rightarrow IS=IA=IB=IC$
Suy ra $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp $S.ABC$.
Gọi $H$ là trung điểm của $BC$. Vì $\Delta ABC$ vuông tại $A$ $\Rightarrow H$
là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp $S.ABC$
Gọi $H$ là trung điểm của $BC$. Vì $\Delta ABC$ vuông tại $A$ $\Rightarrow $
$H$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp $S.ABC$ $\Rightarrow $ $IH\bot \left( ABC \right)$
Xét tam giác vuông $ABC$ có:
$BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=2$, $HC=1$
$IC=R=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\Rightarrow IH=\sqrt{I{{C}^{2}}-H{{C}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{5}{4}-1}=\dfrac{1}{2}$
$HK=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}$
$d\left( H;\left( IAC \right) \right)=HE=\dfrac{IH.HK}{\sqrt{I{{H}^{2}}+H{{K}^{2}}}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}}{\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}}}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
$\Rightarrow \dfrac{d\left( B;\left( IAC \right) \right)}{d\left( H;\left( IAC \right) \right)}=\dfrac{BC}{HC}=2$ $\Rightarrow d\left( B,\left( IAC \right) \right)=2d\left( H,\left( IAC \right) \right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Vậy $d\left( B,\left( SAC \right) \right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Suy ra $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp $S.ABC$.
Gọi $H$ là trung điểm của $BC$. Vì $\Delta ABC$ vuông tại $A$ $\Rightarrow H$
là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp $S.ABC$
Gọi $H$ là trung điểm của $BC$. Vì $\Delta ABC$ vuông tại $A$ $\Rightarrow $
$H$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp $S.ABC$ $\Rightarrow $ $IH\bot \left( ABC \right)$
Xét tam giác vuông $ABC$ có:
$BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=2$, $HC=1$
$IC=R=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\Rightarrow IH=\sqrt{I{{C}^{2}}-H{{C}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{5}{4}-1}=\dfrac{1}{2}$
$HK=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}$
$d\left( H;\left( IAC \right) \right)=HE=\dfrac{IH.HK}{\sqrt{I{{H}^{2}}+H{{K}^{2}}}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}}{\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}}}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
$\Rightarrow \dfrac{d\left( B;\left( IAC \right) \right)}{d\left( H;\left( IAC \right) \right)}=\dfrac{BC}{HC}=2$ $\Rightarrow d\left( B,\left( IAC \right) \right)=2d\left( H,\left( IAC \right) \right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Vậy $d\left( B,\left( SAC \right) \right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Đáp án A.
