Google
Câu hỏi: Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $2a$, khoảng cách từ tâm đáy đến một mặt bên bằng $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$. Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ bằng
A. $V=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{9}.$
B. $V=\dfrac{4\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}.$
C. $V=\dfrac{4\sqrt{3}{{a}^{3}}}{9}.$
D. $V=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}.$
Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$.
Vì hình chóp $S.ABCD$ đều nên ta có $SO\bot \left( ABCD \right)$.
Gọi $M$ là trung điểm của $AB$, kẻ $OK\bot SM\text{ }\left( 1 \right)$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot OM \\
& AB\bot SO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SOK \right)\Rightarrow AB\bot OK\text{ }\left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $OK\bot \left( SAB \right)$. Khi đó $d\left( O;\left( SAB \right) \right)=OK=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Xét $\Delta SMO$ vuông tại $O$, ta có: $\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{M}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{K}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{S{{O}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{K}^{2}}}-\dfrac{1}{O{{M}^{2}}}\Rightarrow SO=a\sqrt{3}$.
Vậy thể tích khối chóp đều $S.ABCD$ là ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SO.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.a\sqrt{3}.{{\left( 2a \right)}^{2}}=\dfrac{4{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
A. $V=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{9}.$
B. $V=\dfrac{4\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}.$
C. $V=\dfrac{4\sqrt{3}{{a}^{3}}}{9}.$
D. $V=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}.$
Vì hình chóp $S.ABCD$ đều nên ta có $SO\bot \left( ABCD \right)$.
Gọi $M$ là trung điểm của $AB$, kẻ $OK\bot SM\text{ }\left( 1 \right)$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot OM \\
& AB\bot SO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SOK \right)\Rightarrow AB\bot OK\text{ }\left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $OK\bot \left( SAB \right)$. Khi đó $d\left( O;\left( SAB \right) \right)=OK=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Xét $\Delta SMO$ vuông tại $O$, ta có: $\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{M}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{K}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{S{{O}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{K}^{2}}}-\dfrac{1}{O{{M}^{2}}}\Rightarrow SO=a\sqrt{3}$.
Vậy thể tích khối chóp đều $S.ABCD$ là ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SO.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.a\sqrt{3}.{{\left( 2a \right)}^{2}}=\dfrac{4{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
Đáp án B.