Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $2a,$ cạnh bên bằng...

+ Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$, $I$ là trung điểm của $CD$, vẽ $OH\bot SI$ tại $H$.
Vì $S.ABCD$ là hình chóp đều $\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right)$
+ Do $ABCD$ là hình vuông $\Rightarrow OI\bot CD$ (1)
$SO\bot \left( ABCD \right)$ $\Rightarrow SO\bot CD$ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow CD\bot \left( SOI \right)$, $OH\subset \left( SOI \right)\Rightarrow OH\bot CD$.
+ Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& OH\bot SI \\
& OH\bot CD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow OH\bot \left( SCD \right)\Rightarrow d\left( O, \left( SCD \right) \right)=OH$.
+ Lại có $AO\cap \left( SCD \right)=C\Rightarrow \dfrac{d\left( A,\left( SCD \right) \right)}{d\left( O,\left( SCD \right) \right)}=\dfrac{CA}{CO}=2$ $\Rightarrow d\left( A, \left( SCD \right) \right)=2d\left( O, \left( SCD \right) \right)=2OH$
+ Tính $OH?$
Ta có $OI=\dfrac{AD}{2}=a$.
$AC=2a\sqrt{2}\Rightarrow OC=a\sqrt{2}$
$SO=\sqrt{S{{C}^{2}}-O{{C}^{2}}}=\sqrt{9{{a}^{2}}-2{{a}^{2}}}=a\sqrt{7}$
Xét tam giác vuông $SOI$ ta có: $OH=\dfrac{OS.OI}{\sqrt{O{{S}^{2}}+O{{I}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{7}.a}{\sqrt{7{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{14}}{4}$
$\Rightarrow d\left( A, \left( SCD \right) \right)=2OH=\dfrac{a\sqrt{14}}{2}$.