Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có $f^{\prime}(x)=(x-2)^2\left(x^2+3 x-4\right)$. Gọi $\mathrm{S}$ là tập các số nguyên $m \in[-10 ; 10]$ để hàm số $y=f\left(x^2-4 x+m\right)$ có đúng 3 điểm cực trị. Số phần tử của $\mathrm{S}$ bằng
A. 10 .
B. 5 .
C. 14.
D. 4 .
A. 10 .
B. 5 .
C. 14.
D. 4 .
Ta có: $f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}(x-2)^2=0 \\ x^2+3 x-4=0\end{array}\right.$
Đặt $y=g(x)=f\left(x^2-4 x+m\right)$
$g^{\prime}(x)=(2 x-4) f^{\prime}\left(x^2-4 x+m\right)$
$g^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}2 x-4=0 \\ f^{\prime}\left(x^2-4 x+m\right)=0\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=2 \\ \left(x^2-4 x+m-2\right)^2=0 \\ h_1(x)=x^2-4 x+m-1=0(1) \\ h_2(x)=x^2-4 x+m+4=0(2)\end{array}\right.\right.$
Hàm số có 3 cực trị khi một trong 2 phương trình và có 2 nghiêm phân biệt khác 2 và phương trình có lại có 1 nghiệm hoặc vô nghiệm $\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}h_1(2) \neq 0 \\ \Delta_1>0 \\ \Delta_2 \leq 0 \\ h_2(2) \neq 0 \\ \Delta_1 \leq 0 \\ \Delta_2>0\end{array} \quad\left[\begin{array}{l}0 \leq m<5 \\ m \geq 3 \\ m<0\end{array} \quad \Leftrightarrow 0 \leq m<5\right.\right.\end{array}\right.$ mà $m \in[-10 ; 10]$ do đó $m \in\{0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4\}$ có 5 phần tử.
Đặt $y=g(x)=f\left(x^2-4 x+m\right)$
$g^{\prime}(x)=(2 x-4) f^{\prime}\left(x^2-4 x+m\right)$
$g^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}2 x-4=0 \\ f^{\prime}\left(x^2-4 x+m\right)=0\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=2 \\ \left(x^2-4 x+m-2\right)^2=0 \\ h_1(x)=x^2-4 x+m-1=0(1) \\ h_2(x)=x^2-4 x+m+4=0(2)\end{array}\right.\right.$
Hàm số có 3 cực trị khi một trong 2 phương trình và có 2 nghiêm phân biệt khác 2 và phương trình có lại có 1 nghiệm hoặc vô nghiệm $\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}h_1(2) \neq 0 \\ \Delta_1>0 \\ \Delta_2 \leq 0 \\ h_2(2) \neq 0 \\ \Delta_1 \leq 0 \\ \Delta_2>0\end{array} \quad\left[\begin{array}{l}0 \leq m<5 \\ m \geq 3 \\ m<0\end{array} \quad \Leftrightarrow 0 \leq m<5\right.\right.\end{array}\right.$ mà $m \in[-10 ; 10]$ do đó $m \in\{0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4\}$ có 5 phần tử.
Đáp án B.