Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ có đồ thị hàm số sau:
Tổng tất cả các giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $g(x)=f^3(x)-3 m^2 f(x)-5$ có 7 điểm cực trị là
A. 8 .
B. 6 .
C. 3 .
D. 5 .
A. 8 .
B. 6 .
C. 3 .
D. 5 .
Ta có: $g^{\prime}(x)=3 f^2(x) \cdot f^{\prime}(x)-3 m^2 f^{\prime}(x)=3 f^{\prime}(x)[f(x)-m][f(x)+m]$.
$\Rightarrow g^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f^{\prime}(x)=0 \\ f(x)=m \\ f(x)=-m\end{array}\right.$.
Để $g(x)$ có 7 điểm cực trị thì phương trình $g^{\prime}(x)=0$ có 7 nghiệm bội lẻ.
Vì đồ thị hàm số $y=f(x)$ có 3 cực trị nên $f^{\prime}(x)=0$ có 3 nghiệm bội lẻ.
Mà $m>0$ nên $f(x)=-m$ luôn có 2 nghiệm thỏa mãn.
Suy ra $f(x)=m$ có 2 nghiệm bội lẻ phân biệt khác nghiệm của $f^{\prime}(x)=0$ và $f(x)=-m$.
Từ đồ thị, suy ra $\left[\begin{array}{l}0<m \leq 1 \\ 2 \leq m<4\end{array}\right.$, mà $m$ nguyên nên $m \in\{1 ; 2 ; 3\}$.
Vậy tổng các giá trị của $m$ là 6 .
$\Rightarrow g^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f^{\prime}(x)=0 \\ f(x)=m \\ f(x)=-m\end{array}\right.$.
Để $g(x)$ có 7 điểm cực trị thì phương trình $g^{\prime}(x)=0$ có 7 nghiệm bội lẻ.
Vì đồ thị hàm số $y=f(x)$ có 3 cực trị nên $f^{\prime}(x)=0$ có 3 nghiệm bội lẻ.
Mà $m>0$ nên $f(x)=-m$ luôn có 2 nghiệm thỏa mãn.
Suy ra $f(x)=m$ có 2 nghiệm bội lẻ phân biệt khác nghiệm của $f^{\prime}(x)=0$ và $f(x)=-m$.
Từ đồ thị, suy ra $\left[\begin{array}{l}0<m \leq 1 \\ 2 \leq m<4\end{array}\right.$, mà $m$ nguyên nên $m \in\{1 ; 2 ; 3\}$.
Vậy tổng các giá trị của $m$ là 6 .
Đáp án B.