Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime}(x)=\left(x^2-x\right)\left(x^2-4 x+3\right), \forall x \in \mathbb{R}$. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $g(x)=f\left(x^2+m\right)$ có 3 điểm cực trị.
A. 3 .
B. 2 .
C. 0 .
D. 6 .
A. 3 .
B. 2 .
C. 0 .
D. 6 .
Ta có $f^{\prime}(x)=x(x-1)^2(x-3) ; f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0 \\ x=1 \\ x=3\end{array} \quad(x=0, x=3\right.$ là nghiệm đơn; $x=1$ là nghiệm bội chẵn).
Lại
có
$
g^{\prime}(x)=2 x . f^{\prime}\left(x^2+m\right) \rightarrow g^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array} { l }
{ x = 0 } \\
{ f ^ { \prime } ( x ^ { 2 } + m ) = 0 }
\end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}
x=0 \\
x^2+m=0 \\
x^2+m=1 \\
x^2+m=3
\end{array} \Leftrightarrow\right.\right.
$
$
\left[\begin{array}{l}
x=0 \\
x^2=-m \\
x^2=1-m \\
x^2=3-m
\end{array}\right.
$
Do (2) có nghiệm luôn là nghiệm bội chẵn; các phương trình (1), (3) không có nghiệm chung và $-m<3-m$.
Hàm số $g(x)$ có 3 điểm cực trị $\Leftrightarrow g^{\prime}(x)=0$ có ba nghiệm bội lẻ $\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}-m \leq 0 \\ 3-m>0\end{array} \Leftrightarrow 0 \leq m<3\right.$. Vì $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in\{0 ; 1 ; 2\}$.Vậy tổng các giá trị nguyên của tham số $m$ bằng 3 .
Lại
có
$
g^{\prime}(x)=2 x . f^{\prime}\left(x^2+m\right) \rightarrow g^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array} { l }
{ x = 0 } \\
{ f ^ { \prime } ( x ^ { 2 } + m ) = 0 }
\end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}
x=0 \\
x^2+m=0 \\
x^2+m=1 \\
x^2+m=3
\end{array} \Leftrightarrow\right.\right.
$
$
\left[\begin{array}{l}
x=0 \\
x^2=-m \\
x^2=1-m \\
x^2=3-m
\end{array}\right.
$
Do (2) có nghiệm luôn là nghiệm bội chẵn; các phương trình (1), (3) không có nghiệm chung và $-m<3-m$.
Hàm số $g(x)$ có 3 điểm cực trị $\Leftrightarrow g^{\prime}(x)=0$ có ba nghiệm bội lẻ $\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}-m \leq 0 \\ 3-m>0\end{array} \Leftrightarrow 0 \leq m<3\right.$. Vì $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in\{0 ; 1 ; 2\}$.Vậy tổng các giá trị nguyên của tham số $m$ bằng 3 .
Đáp án A.