Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime}(x)=(x-1)^2\left(x^2-2...

Đặt $g(x)=f\left(x^2-8 x+m\right)$
$
\begin{gathered}
f^{\prime}(x)=(x-1)^2\left(x^2-2 x\right) \Rightarrow g^{\prime}(x) \\
=(2 x-8)\left(x^2-8 x+m-1\right)^2\left(x^2-8 x+m\right)\left(x^2-8 x+m-2\right) \\
g^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
x=4 \\
x^2-8 x+m-1=0 \\
x^2-8 x+m=0 \\
x^2-8 x+m-2=0
\end{array}\right.
\end{gathered}
$
Các phương trình (1), (2), (3) không có nghiệm chung từng đôi một và $\left(x^2-8 x+m-1\right)^2 \geq 0$ với $\forall x \in \mathbb{R}$
Suy ra $g(x)$ có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi (2) và (3) có hai nghiệm phân biệt khác $4 \Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{l}\Delta_2=16-m>0 \\ \Delta_3=16-m+2>0 \\ 16-32+m \neq 0 \\ 16-32+m-2 \neq 0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m<16 \\ m<18 \\ m \neq 16 \\ m \neq 18\end{array} \Leftrightarrow m<16\right.\right.$.
Vì $m$ nguyên dương và $m<16$ nên có 15 giá trị $m$ cần tìm.