Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime}(x)=(x+1)^2\left(x^2-4...

Ta có $f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow(x+1)^2\left(x^2-4 x\right)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=-1 \\ x=0 \\ x=4\end{array}\right.$, trong đó $x=-1$ là nghiệm kép.
$
\begin{gathered}
g^{\prime}(x)=(4 x-12) f^{\prime}\left(2 x^2-12 x+m\right) \\
g^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array} { l }
{ x = 3 } \\
{ f ^ { \prime } ( 2 x ^ { 2 } - 1 2 x + m ) = 0 }
\end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}
x=3 \\
2 x^2-12 x+m=-1 \\
h(x)=2 x^2-12 x+m=0 \\
l(x)=2 x^2-12 x+m=4
\end{array}\right.\right.
\end{gathered}
$
Để hàm số $g(x)=f\left(2 x^2-12 x+m\right)$ có đúng 5 điểm cực trị thì $(I)$ có 5 nghiệm lẻ phân biệt.
Do đó: $\left\{\begin{array}{l}\Delta^{\prime}{ }_h>0 \\ \Delta^{\prime}>0 \\ h(3) \neq 0 \\ l(3) \neq 0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}36-2 m>0 \\ 36-2(m-4)>0 \\ 2.3^2-12.3+m \neq 0 \\ 2.3^2-12.3+m-4 \neq 0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m<18 \\ m<22 \\ m \neq 18 \\ m \neq 22\end{array} \Leftrightarrow m<18\right.\right.\right.$.
Mà $m$ là số nguyên dương nên $m \in\{1 ; 2 ; 3 ; \ldots ; 17\}$. Suy ra có 17 giá trị $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.