Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f(x)$ biết $f^{\prime}(x)=x^2(x-1)^3\left(x^2-2 m x+m+6\right)$. Số giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số đã cho có đúng một điểm cực trị là
A. 6 .
B. 4 .
C. 7.
D. 5 .
A. 6 .
B. 4 .
C. 7.
D. 5 .
Cho $f^{\prime}(x)=0 \Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=0 \\ x=1 \\ g(x)=x^2-2 m x+m+6=0\end{array}\right.$.
Trong đó $x=0$ là nghiệm bội chẵn và $x=1$ là nghiệm bội lẻ.
Hàm số đã có một cực trị khi và chỉ khi $f^{\prime}(x)$ đổi dấu một lần khi và chỉ khi $f^{\prime}(x)=0$ có một nghiệm bội lẻ.
+ Trường hợp 1: Phương trình $g(x)=0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép:
Khi đó: $\Delta^{\prime} \leq 0 \Leftrightarrow m^2-m-6 \leq 0 \Leftrightarrow-2 \leq m \leq 3$.
+ Trường hợp 2: $g(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm $x_1=1$
Với $x_1=1$, ta có: $g(1)=1-2 m+m+6=0 \Leftrightarrow m=7$.
Với $m=7 \Rightarrow g(x)=x^2-14 x+13=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=1 \\ x=13\end{array}\right.$ (thỏa mãn)
Vậy $m \in[-2 ; 3] \cup\{7\}$, mà $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in\{-2 ;-1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 7\}$.
Trong đó $x=0$ là nghiệm bội chẵn và $x=1$ là nghiệm bội lẻ.
Hàm số đã có một cực trị khi và chỉ khi $f^{\prime}(x)$ đổi dấu một lần khi và chỉ khi $f^{\prime}(x)=0$ có một nghiệm bội lẻ.
+ Trường hợp 1: Phương trình $g(x)=0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép:
Khi đó: $\Delta^{\prime} \leq 0 \Leftrightarrow m^2-m-6 \leq 0 \Leftrightarrow-2 \leq m \leq 3$.
+ Trường hợp 2: $g(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm $x_1=1$
Với $x_1=1$, ta có: $g(1)=1-2 m+m+6=0 \Leftrightarrow m=7$.
Với $m=7 \Rightarrow g(x)=x^2-14 x+13=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=1 \\ x=13\end{array}\right.$ (thỏa mãn)
Vậy $m \in[-2 ; 3] \cup\{7\}$, mà $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in\{-2 ;-1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 7\}$.
Đáp án C.