Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime}(x)=(x-1)^2\left(x^2-2...

Đặt $g(x)=f\left(x^2-8 x+m\right)$
$f^{\prime}(x)=(x-1)^2\left(x^2-2 x\right) \Rightarrow g^{\prime}(x)=(2 x-8)\left(x^2-8 x+m-1\right)^2\left(x^2-8 x+m\right)\left(x^2-8 x+\right.$ $m-2)$
$
g^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
x=4 \\
x^2-8 x+m-1=0(1) \\
x^2-8 x+m=0(2) \\
x^2-8 x+m-2=0(3)
\end{array}\right.
$
Các phương trình (1), (2), (3) không có nghiệm chung từng đôi một và $\left(x^2-8 x+m-1\right)^2 \geq 0$ với $\forall x \in \mathbb{R}$
Suy ra $g(x)$ có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi (2) và (3) có hai nghiệm phân biệt khác $4 \Leftrightarrow$
$
\left\{\begin{array} { l }
{ \Delta _ { 2 } = 1 6 - m > 0 } \\
{ \Delta _ { 3 } = 1 6 - m + 2 > 0 } \\
{ 1 6 - 3 2 + m \neq 0 } \\
{ 1 6 - 3 2 + m - 2 \neq 0 }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
m<16 \\
m<18 \\
m \neq 16 \\
m \neq 18
\end{array} \Leftrightarrow m<16 .\right.\right.
$
Vì $m$ nguyên dương và $m<16$ nên có 15 giá trị $m$ cần tìm.