Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị $f'\left( x \right)$ như hình vẽ bên dưới.
Số giá trị nguyên của tham số $m\in \left( -2023;2023 \right)$ để hàm số $g\left( x \right)=f\left( 2x+1 \right)-\ln \left( 4{{x}^{2}}+1 \right)-2mx$ nghịch biến trên khoảng $\left( -\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2} \right)$ là
A. $2022$.
B. $2019$.
C. $2018$.
D. $2023$.
A. $2022$.
B. $2019$.
C. $2018$.
D. $2023$.
Dựa vào đồ thị hàm số $\Rightarrow f'\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4$
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( 2x+1 \right)-\ln \left( 4{{x}^{2}}+1 \right)-2mx$
$\Rightarrow g'\left( x \right)=2f'\left( 2x+1 \right)-\dfrac{8x}{4{{x}^{2}}+1}-2m$.
Đặt $t=2x+1$ với $x\in \left( -\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2} \right)\Rightarrow t\in \left( 0;2 \right)$
$\Rightarrow g'\left( t \right)=2f'\left( t \right)-\dfrac{4t-4}{{{t}^{2}}-2t+2}-2m$
$\Rightarrow g'\left( t \right)\le 0\Leftrightarrow 2f'\left( t \right)-\dfrac{4t-4}{{{t}^{2}}-2t+2}-2m\le 0\Leftrightarrow m\ge f'\left( t \right)-\dfrac{2t-2}{{{t}^{2}}-2t+2}$.
Đặt $h\left( t \right)=f'\left( t \right)-\dfrac{2t-2}{{{t}^{2}}-2t+2}={{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+4-\dfrac{2t-2}{{{t}^{2}}-2t+2}$.
$\Rightarrow h'\left( t \right)=3{{t}^{2}}-6t+\dfrac{2{{t}^{2}}-4t}{{{\left( {{t}^{2}}-2t+2 \right)}^{2}}}=\left( {{t}^{2}}-2t \right)\left( 3+\dfrac{2}{{{\left( {{t}^{2}}-2t+2 \right)}^{2}}} \right)<0\forall t\in \left( 0;2 \right)$.
$\Rightarrow h\left( t \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( 0;2 \right)$.
$\Rightarrow m\ge h\left( 0 \right)=5$
vì $m\in \left( -2023;2023 \right)$ nên có 2018 giá trị nguyên của m.
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( 2x+1 \right)-\ln \left( 4{{x}^{2}}+1 \right)-2mx$
$\Rightarrow g'\left( x \right)=2f'\left( 2x+1 \right)-\dfrac{8x}{4{{x}^{2}}+1}-2m$.
Đặt $t=2x+1$ với $x\in \left( -\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2} \right)\Rightarrow t\in \left( 0;2 \right)$
$\Rightarrow g'\left( t \right)=2f'\left( t \right)-\dfrac{4t-4}{{{t}^{2}}-2t+2}-2m$
$\Rightarrow g'\left( t \right)\le 0\Leftrightarrow 2f'\left( t \right)-\dfrac{4t-4}{{{t}^{2}}-2t+2}-2m\le 0\Leftrightarrow m\ge f'\left( t \right)-\dfrac{2t-2}{{{t}^{2}}-2t+2}$.
Đặt $h\left( t \right)=f'\left( t \right)-\dfrac{2t-2}{{{t}^{2}}-2t+2}={{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+4-\dfrac{2t-2}{{{t}^{2}}-2t+2}$.
$\Rightarrow h'\left( t \right)=3{{t}^{2}}-6t+\dfrac{2{{t}^{2}}-4t}{{{\left( {{t}^{2}}-2t+2 \right)}^{2}}}=\left( {{t}^{2}}-2t \right)\left( 3+\dfrac{2}{{{\left( {{t}^{2}}-2t+2 \right)}^{2}}} \right)<0\forall t\in \left( 0;2 \right)$.
$\Rightarrow h\left( t \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( 0;2 \right)$.
$\Rightarrow m\ge h\left( 0 \right)=5$
vì $m\in \left( -2023;2023 \right)$ nên có 2018 giá trị nguyên của m.
Đáp án C.